対数の大小比較

質問

数IIの対数の問題なのですが、途中でつまってしまいました。どなたかお助けください。
【問】log(x)y と log(y)x (0<x<1,1<y)の大小を比較せよ。

この二つの差をとり正、もしくは負であることを示そうとして
log(x)y - log(y)x
＝log(x)y - 1/log(x)y
＝(log(x)y+1)(log(x)y-1)/log(x)y
としてみたのですが(log(x)y+1)の正負の判断がつきません。
解答では底を10に変換して
（与式）
＝(log(10)y+log(10)x)(log(10)y-log(10)x)/log(10)y×log(10)x
としていきなり答えになっているのですが、自分には
(log(10)y+log(10)x)の正負が判断できません。どのように判断すればいいのでしょうか。

回答No.2

info22

> log(x)y - log(y)x
>＝log(x)y - 1/log(x)y
>＝(log(x)y+1)(log(x)y-1)/log(x)y
なぜ↑のように変形するのですか？
このように変形すれば分子分母の正負が判定できるならともかく

>(log(x)y+1)の正負の判断がつきません。

正負の判定できない式へと変形しても、変形の意味はないですね。
正負の判定ができる式へと変形しなければ、ただの無駄な計算となるだけです。

>（与式） の対数をすべて常用対数に直して(対数の底10は省略します)

＝log(y)/log(x)-log(x)/log(y)
通分して
＝[{log(y)}^2-{log(x)}^2]/{log(x)log(y)}

>＝(log(10)y+log(10)x)(log(10)y-log(10)x)/log(10)y×log(10)x
＝{log(y)-log(x)}{log(y)+log(x)}/{log(x)log(y)}
＝log(x/y)log(xy)/{log(x)log(y)}　…(●)

0<x<1,1<yなので
log(x)<log(1)=0,log(y)>log(1)=0,log(x/y)<log(x/1)=log(x)<0,
xyは1より大きくなったり、1になったり、1より小さくなったりするのでlog(xy)は負、0、正にもなる。

ゆえに　(●)の符号はlog(xy)の符号と同じになる。

つまり
xy>1の場合　
log(x)y-log(y)x＞0
xy=1の場合　
log(x)y-log(y)x＝0
0<xy<1の場合　
log(x)y-log(y)x＜0
となります。

お礼

詳しい回答ありがとうございます。つまり場合分けが必要ということですね。本当にありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

log(10) x + log(10) y = log(10) (xy) の正負は判断できますよね?

補足

>log(10) x + log(10) y = log(10) (xy) の正負は判断できますよね?

すみません。それが分かりません。log(10) (xy)の正負はxyが１より大きいか小さいかで判断するのだと思うのですが、0<x<1,1<yの条件からどうしたらいいかわかりません。どうか教えてください。