対数の大小比較

質問

2/3、log_2 √3、log_1/3 √(3/2)、log_√3 √6、log_3 √2の大小を比較せよ

とりあえず左から順に底を1/3として書き直してみましたが上手くいきません
どうやって解くか教えてください！

回答No.3

nag0720 · ベストアンサー

＞とりあえず左から順に底を1/3として書き直してみましたが上手くいきません

底は何でもいいんですが、1/3にすると大小関係が分かりにくくなるので、１より大きい数にしたほうがいいでしょう。

とりあえず、常用対数（底＝10、底は省略）にすると、
log_2 √3=log3/(2log2)
log_1/3 √(3/2)=(log3-log2)/(-2log3)
log_√3 √6=(log2+log3)/log2
log_3 √2=log2/(2log3)
これらから分かることは、
log_1/3 √(3/2)＜0＜log_3 √2＜1/2＜log_2 √3＜1＜log_√3 √6

残りは2/3ですが、これはlog_2 √3=log3/(2log2)との差を計算すれば分かります。

お礼

ありがとうございます！

補足

log_2 √3=log3/(2log2)
log_1/3 √(3/2)=(log3-log2)/(-2log3)
log_√3 √6=(log2+log3)/log2
log_3 √2=log2/(2log3)

この右辺をどうやって大小比較するのでしょうか？

回答No.2

k_yuu01

底はなんでもいいんじゃないでしょうかね
というより底の選び方のセンスを問われる問題ではないかと

まず挙げられた５つの数を、底をaとして書き直しましょう。
すると、対数の加減を分子に持つ分数が出てくると思います。
そこで計算を終わらせずに分母で割ってしまいましょう。
例えば（自然対数lnを使います）
log_√3 √6=0.5ln6/0.5ln3=(ln2+ln3)/ln3=ln2/ln3+1
というカンジ
「log_a 2　/　log_a 3」っというのが鍵になるかと
まあ「log_a 2　/　log_a 3=log_3 2」ですね。
この数は１より小さいので（log_3 2より、３が２になるには１乗未満だから）
分母に出てくると比較がややこしくなるので、逆数を使いますか。
log_a 3　/　log_a 2=bとでもおいて５つの数を書き直して比較しましょう。

・・・ここまで言っといてあれですが、対数の値が問題で与えられていないと最終判断ができないんじゃないかなぁ・・

お礼

ありがとうございます！

補足

ちなみに対数の値は与えられていませんでした

回答No.1

asuncion

対数の底を6にそろえてみる、という作戦はどうでしょうか。
2とか3とかいう数が、いかにも「6にそろえてみては？」と叫んでいるように見えます。

お礼

ありがとうございます！