指数対数の大小問題について

質問

1<a<b<a^2とする。
A=log(a)b,B=log(b)a,C=log(a)a/b,D=log(b)b/a,E=1/2のとき
A,B,C,D,Eを小さいほうから順に並べなさい。

底をaに統一して比較するのでしょうか？

回答No.6

stomachman

底を統一して比べるしかないだろう、ということはすぐ分かるでしょう。
　さて、ポイントは　B=log(b)a　ですね。1<a<b<a^2 ならば
　　 1/2<B<1
である。なぜなら、1, a, b, a^2 のそれぞれについてbを底とする対数をとれば0, B, 1, 2Bであり、そして対数は単調増加関数なので、これらは
　　0 <B<1<2B
を満たす。

　この点にさえ気がつけば、話は一直線。

　　A=log(a)b = 1/(log(b)a) = 1/B
なので 1＜A＜2
　　C=log(a)a/b = (log(a)a)-(log(a)b) = 1-A
だから -1＜C＜0
　　D=log(b)b/a = 1-B
だから 0＜D＜1/2

回答No.5

ferien

ANo.2です。ANO.3ANo.4さん

＞＃2のような事をしてたら、何回大小比較をしなければならないか。やって見ると良い。
のように仰る意味が分かりません。

1<a<b<a^2より、底をaにして対数をとると、０＜１＜log(a)ｂ＜２　……（１）
逆数にすると、（１／２）＜（１／log(a)ｂ）＜１＜log(a)ｂ　……（２）
Ａ＝log(a)ｂ
Ｂ＝log(a)ａ／log(a)ｂ＝１／log(a)ｂ
Ｃ＝log(a)ａ－log(a)ｂ＝１－log(a)ｂ
Ｄ＝log(a)（ｂ／ａ）／log(a)ｂ＝｛log(a)ｂ－１｝／log(a)ｂ
Ｅ＝１／２

一番面倒なのは、Ｅ＞Ｄの関係で、
Ａ，Ｂ，Ｅの関係は、（２）の関係を見ただけですぐに分かります。
Ｃは、（１）から、負になると分かれば、一番小さいと分かると思うのですが、

特別な計算をしなくても見るだけで分かるのですが、説明が良くなかったと言うことでしょうか？
申し訳ありません。

回答No.4

mister_moonlight

笑ってたら、書き込みミス。笑えない。。。。。ｗ

(誤)　実際に　Ａ-Ｂ＝(α＋1)*(α-1)/α　＞0、Ｂ-Ｅ＝(2-α)/(2α)＞0、Ｅ-Ｄ＝1/6＞0、ＤＣ＝5/6＞0。

(正)　実際に　Ａ-Ｂ＝(α＋1)*(α-1)/α　＞0、Ｂ-Ｅ＝(2-α)/(2α)＞0、Ｅ-Ｄ＝(2-α)/(2α)＞0、ＤＣ＝(3α-2)/(2α)＞0。

回答No.3

mister_moonlight

＃2のような事をしてたら、何回大小比較をしなければならないか。やって見ると良い。

底を統一するのは定石だろう。
その結果で、α＝log(a)b　とすると条件から　1＜α＜2.‥‥(1)
A＝α、B＝1/α、C＝1-α、D＝(α-1)/α、E＝1/2　だから　(1)から　α＝3/2を代入して、大小の見当をつけておく。そうすれば、最少の手間と時間で解決する。
実際にやると、Ａ＝3/2、Ｂ＝2/3、Ｃ＝-1/2、Ｄ＝1/3、Ｅ＝1/2　になるから、Ａ＞Ｂ＞Ｅ＞Ｄ＞Ｃ　と見当をつける。
実際に　Ａ-Ｂ＝(α＋1)*(α-1)/α　＞0、Ｂ-Ｅ＝(2-α)/(2α)＞0、Ｅ-Ｄ＝1/6＞0、ＤＣ＝5/6＞0。

このように3つ以上の大小を比較する時は、闇雲にやらずに、その結果を予測しておけば“時間と労力”の削減になる。

頭は、生きているうちに使え。。。。。。。ｗ

回答No.2

ferien

1<a<b<a^2とする。
A=log(a)b,B=log(b)a,C=log(a)a/b,D=log(b)b/a,E=1/2のとき
A,B,C,D,Eを小さいほうから順に並べなさい。

＞底をaに統一して比較するのでしょうか？
それでできます。

1<a<b<a^2より、底をaにして対数をとると、０＜１＜log(a)ｂ＜２　……（１）
逆数にすると、１／２＜１／log(a)ｂ＜１＜log(a)ｂ　……（２）
Ａ＝log(a)ｂ
Ｂ＝log(a)ａ／log(a)ｂ＝１／log(a)ｂ
Ｃ＝log(a)ａ－log(a)ｂ＝１－log(a)ｂ
Ｄ＝log(a)（ｂ／ａ）／log(a)ｂ＝｛log(a)ｂ－１｝／log(a)ｂ
Ｅ＝１／２
例えば、
Ｅ－Ｄ＝１／２－｛log(a)ｂ－１｝／log(a)ｂ
　　　＝（log(a)ｂ－２log(a)ｂ＋２）／２log(a)ｂ
　　　＝（２－log(a)ｂ）／２log(a)ｂ＞０（（１）より）
よって、Ｅ＞Ｄ
あとは、上のように証明しなくても（１）（２）から大きさの関係が分かります。

考えてみて下さい。

回答No.1

asuncion

＞底をaに統一して比較するのでしょうか？

もしそう考えたのならば、実践してみましょう。