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指数対数の大小問題について
1<a<b<a^2とする。 A=log(a)b,B=log(b)a,C=log(a)a/b,D=log(b)b/a,E=1/2のとき A,B,C,D,Eを小さいほうから順に並べなさい。 底をaに統一して比較するのでしょうか？
- estellesora
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- stomachman
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底を統一して比べるしかないだろう、ということはすぐ分かるでしょう。 さて、ポイントは B=log(b)a ですね。1<a<b<a^2 ならば 1/2<B<1 である。なぜなら、1, a, b, a^2 のそれぞれについてbを底とする対数をとれば0, B, 1, 2Bであり、そして対数は単調増加関数なので、これらは 0 <B<1<2B を満たす。 この点にさえ気がつけば、話は一直線。 A=log(a)b = 1/(log(b)a) = 1/B なので 1＜A＜2 C=log(a)a/b = (log(a)a)-(log(a)b) = 1-A だから -1＜C＜0 D=log(b)b/a = 1-B だから 0＜D＜1/2
- ferien
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ANo.2です。ANO.3ANo.4さん ＞＃2のような事をしてたら、何回大小比較をしなければならないか。やって見ると良い。 のように仰る意味が分かりません。 1<a<b<a^2より、底をaにして対数をとると、０＜１＜log(a)ｂ＜２ ……（１） 逆数にすると、（１／２）＜（１／log(a)ｂ）＜１＜log(a)ｂ ……（２） Ａ＝log(a)ｂ Ｂ＝log(a)ａ／log(a)ｂ＝１／log(a)ｂ Ｃ＝log(a)ａ－log(a)ｂ＝１－log(a)ｂ Ｄ＝log(a)（ｂ／ａ）／log(a)ｂ＝｛log(a)ｂ－１｝／log(a)ｂ Ｅ＝１／２ 一番面倒なのは、Ｅ＞Ｄの関係で、 Ａ，Ｂ，Ｅの関係は、（２）の関係を見ただけですぐに分かります。 Ｃは、（１）から、負になると分かれば、一番小さいと分かると思うのですが、 特別な計算をしなくても見るだけで分かるのですが、説明が良くなかったと言うことでしょうか？ 申し訳ありません。
- mister_moonlight
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笑ってたら、書き込みミス。笑えない。。。。。ｗ (誤) 実際に Ａ-Ｂ＝(α＋1)*(α-1)/α ＞0、Ｂ-Ｅ＝(2-α)/(2α)＞0、Ｅ-Ｄ＝1/6＞0、ＤＣ＝5/6＞0。 (正) 実際に Ａ-Ｂ＝(α＋1)*(α-1)/α ＞0、Ｂ-Ｅ＝(2-α)/(2α)＞0、Ｅ-Ｄ＝(2-α)/(2α)＞0、ＤＣ＝(3α-2)/(2α)＞0。
- mister_moonlight
- ベストアンサー率41% (502/1210)
＃2のような事をしてたら、何回大小比較をしなければならないか。やって見ると良い。 底を統一するのは定石だろう。 その結果で、α＝log(a)b とすると条件から 1＜α＜2.‥‥(1) A＝α、B＝1/α、C＝1-α、D＝(α-1)/α、E＝1/2 だから (1)から α＝3/2を代入して、大小の見当をつけておく。そうすれば、最少の手間と時間で解決する。 実際にやると、Ａ＝3/2、Ｂ＝2/3、Ｃ＝-1/2、Ｄ＝1/3、Ｅ＝1/2 になるから、Ａ＞Ｂ＞Ｅ＞Ｄ＞Ｃ と見当をつける。 実際に Ａ-Ｂ＝(α＋1)*(α-1)/α ＞0、Ｂ-Ｅ＝(2-α)/(2α)＞0、Ｅ-Ｄ＝1/6＞0、ＤＣ＝5/6＞0。 このように3つ以上の大小を比較する時は、闇雲にやらずに、その結果を予測しておけば“時間と労力”の削減になる。 頭は、生きているうちに使え。。。。。。。ｗ
- ferien
- ベストアンサー率64% (697/1085)
1<a<b<a^2とする。 A=log(a)b,B=log(b)a,C=log(a)a/b,D=log(b)b/a,E=1/2のとき A,B,C,D,Eを小さいほうから順に並べなさい。 ＞底をaに統一して比較するのでしょうか？ それでできます。 1<a<b<a^2より、底をaにして対数をとると、０＜１＜log(a)ｂ＜２ ……（１） 逆数にすると、１／２＜１／log(a)ｂ＜１＜log(a)ｂ ……（２） Ａ＝log(a)ｂ Ｂ＝log(a)ａ／log(a)ｂ＝１／log(a)ｂ Ｃ＝log(a)ａ－log(a)ｂ＝１－log(a)ｂ Ｄ＝log(a)（ｂ／ａ）／log(a)ｂ＝｛log(a)ｂ－１｝／log(a)ｂ Ｅ＝１／２ 例えば、 Ｅ－Ｄ＝１／２－｛log(a)ｂ－１｝／log(a)ｂ ＝（log(a)ｂ－２log(a)ｂ＋２）／２log(a)ｂ ＝（２－log(a)ｂ）／２log(a)ｂ＞０（（１）より） よって、Ｅ＞Ｄ あとは、上のように証明しなくても（１）（２）から大きさの関係が分かります。 考えてみて下さい。
- asuncion
- ベストアンサー率33% (2126/6288)
＞底をaに統一して比較するのでしょうか？ もしそう考えたのならば、実践してみましょう。
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