対数の公式について

質問

対数の公式は色々ありますが、

（１）底の変換公式
ｌｏｇ<a> ｂ ＝ ｌｏｇ<c> ｂ ／ ｌｏｇ<c> ａ　　［ただし、< >の中が底を表すとします。以下同じ。］
を変形して、
ｌｏｇ<c> ａ ・ ｌｏｇ<a> ｂ ＝ ｌｏｇ<c> ｂ
つまり、（文字を分かりやすく直すと）
ｌｏｇ<a> ｂ ・ ｌｏｇ<b> ｃ ＝ ｌｏｇ<a> ｃ
この形も役に立つ場合があるのでは？
例：ｌｏｇ<2> ５ ・ ｌｏｇ<5> ８ ＝ ｌｏｇ<2> ８ ＝ ３
（もちろん、底の変換公式を直接使っても求まります。）

（２）公式に、
ｌｏｇ<a> ｂ^ｎ ＝ ｎ ・ ｌｏｇ<a> ｂ
がありますが、同様にして、
ｌｏｇ<a^m> ｂ ＝ １/ｍ ・ ｌｏｇ<a> ｂ
が成り立ちます。
例：ｌｏｇ<2^3> ４ ＝ １/３ ・ ｌｏｇ<2> ４ ＝ 1/３ ・ ２ ＝ ２/３
（この変形も、もちろん底の変換公式を使ってもできますが。）

するとこれより、
ｌｏｇ<a^p> ｂ^ｐ ＝ ｌｏｇ<a> ｂ
または、
ｌｏｇ<a> ｂ ＝ ｌｏｇ<a^p> ｂ^ｐ
という、どこかで見たことがある公式が出てきます。
例：
ｌｏｇ<2^3> ４^３ ＝ ｌｏｇ<2> ４ ＝ ２
ｌｏｇ<√3> ９ ＝ ｌｏｇ<3> ８１ ＝ ４

さらにこれらを一般化して、
ｌｏｇ<a^p> ｂ^ｑ ＝ ｑ/ｐ ・ ｌｏｇ<a> ｂ
または、
ｌｏｇ<a> ｂ ＝ ｐ/ｑ ・ ｌｏｇ<a^p> ｂ^ｑ
という形も考えられますが、これらは余り役に立たない形でしょうか？
例：
ｌｏｇ<2^3> ４^５ ＝ ５/３ ・ ｌｏｇ<2> ４ ＝ １０/３
ｌｏｇ<√2> √√８ ＝ ２/４ ・ ｌｏｇ<2> ８ ＝ １/２ ・ ３ ＝ ３/２

これらの変形も、もちろん底の変換公式を使ってできます。底の変換公式があれば十分でしょうか？

回答No.4

pyon1956

＞例えば、加法定理だけにするとか！？　
実際、今頃の数学２の教科書には普通「和---->積の公式」「積---->和の公式」はのっていないことが多いようです。もっとも必要なのでたいていプリントや問題集でやりますが。
合成公式は物理などで必要なこともあってか、まず載っていますが。
余談でした。

お礼

早速に追加回答をありがとうございました。
確かに、「和積公式」や「積和公式」は見かけは格好いいけれども、その割には使わない公式かもしれませんね！
ありがとうございました。

回答No.3

pyon1956

数学教育の観点からいえば。
いろいろ変形した公式まで覚えろというのはよくわからない人にはただ混乱のもと。
また公式を覚えるよりも公式を導けるようになってほしい。
そのほうがよくわかっていることになるし、公式をど忘れしたときや、ちょっと迷ったときに自分で導けるから。
ということもあります。
ですから
(1)覚えてすますレベルならわかりやすい公式にしぼる
(2)いろいろ応用や演習をするのなら、公式を変形する問題や公式を導く問題などをやらせる
といいった配慮が必要です。
だから学校でもあえて変形した式を公式として教えないだけです。

お礼

ご回答をありがとうございました。

おっしゃる通りなのでしょうね。唯々、色々な公式を覚えるのは、数学教育の趣旨ではないでしょうし。
その点、三角関数の公式群も何とかならないでしょうか。もう少し減らせると、覚える方も助かると思いますが・・・。例えば、加法定理だけにするとか！？　・・・そう言えば、昔は第一余弦定理、第二余弦定理と２つ教えていたようですし・・・。

いずれにしろ、ご回答をありがとうございました。

回答No.2

tatsumi01

No. 1 の方と同じですが、いろいろな公式を全部覚えるとごっちゃになって混乱します。一番覚えやすいものを覚えれば良いと思います。ちなみに私は
ｌｏｇ<a> ｂ ・ ｌｏｇ<b> ｃ ＝ ｌｏｇ<a> ｃ
だけを覚えてました（今でも覚えています）。
ただし、いろいろな公式を短時間で導き出せる力は必要です。

お礼

早速に回答をいただき、ありがとうございました。

三角関数ではないですが、確かに公式がたくさんあると「混乱が乱れます！？」よね。（失礼！）
しかし、ｌｏｇ<a> ｂ ・ ｌｏｇ<b> ｃ ＝ ｌｏｇ<a> ｃ　を覚えていたとは、私も同じなので、うれしい限りです。これは役に立つことがありますよね。

ご回答をありがとうございました。

回答No.1

sunasearch

公式の数が多くなると、複雑でややこしくなります。

その意味で、どれを公式として採用するかは、

・容易に導けるものは公式として採用せずに、数を減らす

・覚えやすい形にする

・実用上現れやすく適用しやすいものにする

などの基準があるように思います。

もとの公式を知って理解したうえで、さらに
個人的に覚えて使う分には、問題がないと思います。

お礼

早速、回答をありがとうございました。

確かに、使用頻度なども大切な基準ですよね。私の「質問欄」に載っていた式を直接使うような場合は、確かに少ないでしょうね。
ただ、あまり見かけない式なので、これから対数関数の何か面白い性質なり定理等が出てこないかな、とも思ったのです。

いずれにしろ、ご回答をありがとうございました。