累乗の「対数をとる」の意味

質問

お世話になっております。数学IIの対数関数において、底の変換公式や常用対数の応用で、特に整数の桁を求める公式(定理？)の証明などで

「(常用)対数をとる」という言葉がしばしば現われますが、これはどういう意味をなすのでしょうか。

例えば、6^30の「常用対数をとる」とlog[10]6^30 ですが、これは単に「任意の累乗を真数とした任意の底の対数に書き換える」という事なのでしょうか。

因みに、底の変換公式は特に新たな底が任意の文字で証明がされているため、殊更意味が分からなく、具体的な値の底から、適度に公式どおりに変形して証明を納得する、という中ら強引な解釈をしてしまいました。

実際は、この言葉の意味が何を示すのかが分かりません。アドバイス下さい。宜しくお願いします。

回答No.2

noname#158987 · ベストアンサー

常用対数と対数は一般性が違います。
常用とつくと底が１０と決まっています。
また自然対数というのもあります。これは底がe=2.71・・・という無理数（ネイピア数という）です。
これらの対数は良く使うので用語として定着したのだと思います。

前置きが長くなりました。
「対数をとる」の意味の前に「対数」の意味を押さえましょう。
http://www.minemura.org/juken/taisu.html

対数をとる際、ある底を決めます。
で、対数をとるとは、その底で指数関数を作った場合、
その指数はどうなるかというのを示したものなのです。
つまり、質問者さんが書いたlog[10]6^30をもとに
x = log[10]6^30
とすると
10^x = 6^30
となります。いうまでもないですが、xが対数です。
6^30　という数を　10^x　という形にすると、その指数である　x　はどうなるか？
ということです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
基本は理解している(つもり)と思ってますが、普通に対数方程式も不等式もとけますし、方程式不等式とけるから、対数の基本理解しきれているか、とは別だとは思いますが……

そのURL拝借します。また、繰り返して慣れようと思います。

回答No.9

nananotanu

>、6^30の「常用対数をとる」とlog[10]6^30 ですが、これは単に「任意の累乗を真数とした任意の底の対数に書き換える」という事

数学的な手続きで言うなら、

　6^30の「常用対数をとる」

は、

　任意の底の対数『ではなくて』10が底の対数に置き換える、即ちlog[10]6^30にする

という事です。貴方の認識は間違っている、といわれたそもそもの意味が解りましたか？

お礼

ご回答感謝します。質問内容の例は、あくまで例です。誤解を招く記述だったならばお詫びします。

問題は、底がなんであれ、正の数N(例)について、Nの対数をとる、の意味です。

Nの「常用」対数をとるならば、log[10]N 、N=10^nならば、log[10]N=nという指数と対数の相互関係も一応理解しているつもりです。

ただ、言葉のニュアンスを知りたい質問でありました。何せ、底の変換公式の証明でいきなり使われた言葉でしたので、

回答No.8

nananotanu

>ただ「対数をとる」の意味

だから、計算を簡単にするためだ、って。
大局的にものを見なくっちゃ

お礼

回答ありがとうございます。諸事情により、ほぼ独学なもので、教科書の記述が頼りですから、逐一気になるのですよ。対局的に理解するためには、微細な理解が必要だとも私は思います。

あまり気になさらないで下さい。

回答No.7

betanm

常用対数とは、底が10である対数のこと。

昔は関数電卓なんてなかったから、常用対数表を使って計算していました。
その時代の名残の問題ともいえますね。

特に10を底にする意味はなくて、１０進法では10が基準となる数だったから使われているだけです。

で、とりあえず両辺の対数を取り、その後底の変換公式を使って、その後の計算をしていく。
これが解法となります。

上の問題は6＾30が１０進数で何桁の数になるか？ですよね。
ｌｏｇ(10)6＾30＝30ｌｏｇ(10)6＝30*0.778＝23.3
で、23桁の数のようになります。

お礼

その通りです！

その解き方はまぁいいのですが……(すいません)

例えば203について、10^2≦203＜10^3から、各辺の「常用対数をとって」…なども同じですよね。

ここまで拘るのがおかしいかどうかは置いて、「対数をとる」の意味が……

ともかくご回答ありがとうございました。

回答No.6

LHS07

基本が解っていないようです。
回答は全て教科書にのっています。

教科書の対数の初めから何回も読みなおすことをすすめます。

少しでも解らなくなったら初めに戻ります。
これを何回も繰りかえします。

対数のところを１回読み終えたらさらに２回目を読みます。

次に例題を解きながら読んでいきます。

例題がすらすら解けるようになったら最後の問題を解いていきます。

お礼

ご回答ありがとうございました。
初っ端の対数の性質に関する記述に私の使う教科書については、「対数をとる」はありません。この言葉が初めて出て来たのは、底の変換公式の証明においてです。

回答No.5

LHS07

(常用)対数　底を10とします。

底をeにすればｌｎです。

お礼

ありがとうございました

回答No.4

nananotanu

基本に返って、対数を取ることの「利点」を認識すべきです。そもそも、どうして対数という概念が生まれたのか。

例えば、貴方が出している例で言えば、

　log[10]6^30 ＝30×log[10]6^

ですから、6を30回かける、という計算が、単に30倍する、という簡単な計算に置き換わる、ということですよ。

意味を理解しないと「中ら強引な解釈をしてしまいました」ってことに繋がるよ。

お礼

対数の性質の証明は、散々繰り返して理解しています。

ただ「対数をとる」の意味が分からないのです。

因みに、底の変換公式は、一つでその値のわかる例えば、log[2]8 を使うと、公式の意味も理解できます。実際は、単一で対数の求めにくいものについて、底の変換公式は効果を発揮する事も。

回答No.3

percival

単に対数にすると言うことです。
x=yならば,それらを真数とした対数　log x =log y（両辺を対数にした） も等しい。

対数とすることで
対数の公式が使えるようになります。

底は両辺同じなら何でも◎。

お礼

なるほど。踏まえて改めて底の変換公式と桁について考えてみようと思います。

回答ありがとうございました。

回答No.1

nananotanu

常用対数；底が10の対数
自然対数；底がｅの対数

のことですから、貴方の認識は間違っています

お礼

回答ありがとうございます。折角の御指摘ですが、意味が分かりません。

底がネイピア数なのか、10なのかは、取り敢えずここでは置いておき、「対数をとる」の意味が分からないのです。また、題名の累乗を単に正の数と置き換えて質問を捉えて下さっても構いません。