2-√2 と 3-√6 の大小比較

質問

2-√2　と 3-√6 の大小を比較する
うまい方法はないでしょうか？

√2≒1.4、√6≒2.4 のように
小数第一位まではわかるとします。

いずれも0.6程度の数ですので、
逆数をとって
1/(2-√2) = (2+√2)/2 = (6+3√2)/6 ≒ 10.2 /6
1/(3-√6) = (3+√6)/3 = (6+2√6)/6 ≒ 10.8 /6
より、 3-√6 < 2-√2 という方法は思いついたのですが…。

回答No.4

staratras · ベストアンサー

円のグラフを利用した解法です。

点(2,0)を中心とする半径√２の小円(赤)と
点(3,0)を中心とする半径√６の大円(青)のグラフを考える。

(x-2)^2+y^2=2 …(1)
(x-3)^2+y^2=6 …(2)

大小２つの円はｙ軸と2か所で交わるが、このうち原点Ｏに近い方をそれぞれ、A、Bとすると
OA=3-√6
OB=2-√2

ここで
ＯＢ＞OA　ならば　2円は交わらず、(1)(2)を連立方程式と見て解くと実数解を持たない　
OB＝OA　ならば　小円が大円に1点で内接するので、(1)(２)はただ1組の実数解を持つ
OB＜OA　ならば　2円は2点で交わるので(1)(２)を連立方程式と見て解くと2組の実数解を持つ

（1)-(２)より　x=1/2 (2)へ代入するとy^2=-1/2 これを満たすyの実数値はない。
したがって　ＯＢ＞OAであり　2-√2＞3-√6 である。

数値の大小の比較がグラフの助けで方程式の実数解の有無に変っているところがポイントです。

お礼

すばらしい方法ですね！
＞数値の大小の比較がグラフの助けで方程式の実数解の有無に変っているところがポイントです。
はい。加えて、解の存在に結び付ける図形に円を選んでいることも
とても巧みに考えられていることがわかりました。

例えば、同じ発想で y=2x^2+2-√2 と y= x^2+3-√6 の２つの放物線の
共有点の存在に帰着しても、結局は２数の大小比較から免れません。

2-√2 の２は式変形の仮定で２倍するのに対して、
√2 は半径として式中で２乗されていることが肝なのかなと
感じているところです。

質問を閉じようとも考えていたのですが、
このようなすばらしい回答を頂け、良かったです。

補足

グラフまで添付して頂き、大変ありがとうございました。

回答No.8

staratras

No.7の四捨五入の場合の誤記の訂正です。

(誤）5.7≦3+2√2<5.8<6 となり

(正)5.7≦3+2√2<5.９<6 となり

お礼

質問の時点で
√2>1.4
√6>2.4
としておけば、四捨五入の考察を避けることができました。
私も質問に一工夫（一配慮）すればよかったですね。

時間を頂きありがとうございます！

回答No.7

staratras

No.4です。少し補足します。

(x-2)^2+y^2=2 …(1)　　(x-3)^2+y^2=6 …(2)

OA=3-√6　　OB=2-√2

この段階でご質問のように√2≒1.4 だけが与えられたとしても、小円がすべて大円の中にあることがわかります。

なぜならば、点Bの座標であるx=2-√2,y=0を大円の中心（3,0)からの距離の2乗を示す(2)の左辺に代入すれば

(x-3)^2+y^2=(2-√2 -3)^2=(1+√2)^2=3+2√2<6 …(3)　つまり点Bと大円の中心の距離が√6未満だからです。

詳しく説明すれば　√2≒1.4 について
小数第2位を四捨五入したと考えた場合は
1.35≦√2<１.45 より　2.7≦2√2<2.9 だから　5.7≦3+2√2<5.8<6 となり
小数第2位を切り捨てたと考えた場合も
1.４≦√2<１.5 より　2.８≦2√2<3 だから　5.8≦3+2√2<6 となるからです。

ご質問のように√2≒1.4 が与えられれば、交わるか否か（OA＞OBを判断するにはこの点のみが必要）に関しては正しく２円のグラフを書くことができます。小数第2位までの近似値は必要ありません。

この解法の要点は2円が交わるか否かを正しく判定することです。細かな近似値を得てグラフを書いてみたら小円が大円の中にすべて含まれていたことがわかったというのではなく、グラフを書く前に、小円が大円の中にすべて含まれていると判断した上でグラフを利用しています。

ただしＮｏ.4の回答では2円が交わらない理由として(3)式ではなく、(1)(２)が共通の実数解を持たないことを挙げました。それはこの方法であれば、無理数の近似値をまったく使う必要がないからです

お礼

>ただしＮｏ.4の回答では2円が交わらない理由として(3)式ではなく、(1)(２)が共通の実数解を持たないことを挙げました。それはこの方法であれば、無理数の近似値をまったく使う必要がないからです

はい。回答いただいたことを理解できていると思います。
座標のうみの親デカルトに感謝します。

回答No.6

info22_

No.2,No.3です。

ANo.5について、

不等式に等号が入りませんね、更に不等号の向きが全部逆ですね。

計算過程を逆にたどって解答を作成する方法ですね。
大小関係が既知である時の変形のアドバイスですから
逆順で解答をつくる場合は注意が必要です。
両辺の符号が正であることを前提に、両辺の正の平方根をとれば不等号の向きは変わらない。ということに注意したいですね。

8<9　←なぜこんな不等式を持ち出すかは疑問に感じるかも？
2√2<3　←　3を加える
3+2√2<6　←　平方完成
(1+√2)^2<(√6)^2　←平方根をとる
1+√2<√6　←符号を反転
-1-√2>-√6 ←3を加える
∴2-√3>3-√6

ANo.4について
要は半径√2や半径√6の円が正確に描けなければ
OA、OBの大小は判別できないということでしょう。

行き着くところは、√2≒1.4,√6≒2.4程度でしか半径が描けなければ、OA、OBの大小が分からないというところになります。
正確なグラフを描くには、少なくとも√2≒1.41,√6≒2.45
と分かっていることが前提になりますね。

お礼

>info22さん

時間をかけて質問に付き合って頂きありがとうございます。
今回の回答について、

> ANo.5について、
> 不等式に等号が入りませんね、更に不等号の向きが全部逆ですね。

No5は、背理法によるものと思います。
結論 2-√2 > 3-√6 が否定された場合、矛盾が生じると説明して
頂いているものと受け止めました。

> ANo.4について
> 要は半径√2や半径√6の円が正確に描けなければ…

後に説明頂いています。
平方根の近似値がなくとも、大小の比較が可能な方法です。

回答No.5

hugen

2-√2≦3-√6　　なら
√6≦1+√2
6≦3+2√2
3≦2√2
9≦8

お礼

行っていることの本質は、前の回答者の方を同じだと思いますが、
この回答を眺めると、とてもシンプルですね。
書き方によってもだいぶ違うのですね！

回答No.3

info22_

No2です。

ANo.2を参考までに補足しますと

| =(√8-√9)/(1+√2+√6)
この段階で分子が負になることは分かると思いますが、
更に分子、分母に(√8+√9)(>0)を掛けて分子の有理化をすると
=(8-9)/{(√8+√9)(1+√2+√6)}
=-1/{(√8+√9)(1+√2+√6)}
と分子＜0,分母＞0がはっきりして
＜0
と示せます。

分子や分母の有理化という手法は、無理数の大小比較の場合や、√を含む0/0型や∞/∞型の極限を求める場合などにもよく使われますので覚えておきましょう。

お礼

丁寧に教えて頂きありがとうございます。

>分子や分母の有理化という手法は、無理数の大小比較の場合や、√を含む0/0型や∞/∞型の極限を求める場合などにもよく使われますので覚えておきましょう。

同じ数・式を表現しているのに、分母や分子の有理化を適宜行うことによって、
その性質が明らかになる。
感慨深いものがあります。

回答No.2

info22_

http://okwave.jp/qa/q7974295.html
に同じ問題の投稿があり、ANo.2に回答したものです。

この回答なら

>√2≒1.4、√6≒2.4 のように
>小数第一位まではわかるとします。

が与えられていなくても大小関係の判別ができる
定石通りですが上手い解法です。
２数の差をとり、分子・分母に正の因数を掛けて分子の有理化をし、分子を正負を評価して、式全体の正負を判別する方法です。
| (3-√6)-(2-√2)=1+√2-√6　　←差をとる
| ={(1+√2)^2-(√6)^2}/(1+√2+√6) ←分子の有理化をする
| =(3+2√2-6)/(1+√2+√6)
| =(√8-3)/(1+√2+√6)
| =(√8-√9)/(1+√2+√6) ←分子は負、分母は正
| ＜0
|∴ 3-√6＜2-√2

問題文で与えられた条件
>√2≒1.4、√6≒2.4 のように
>小数第一位まではわかるとします。
だけでは小数第１位の4が小数第２位以下を四捨五入で出たものか、切り捨て出たものか≒でははっきりしませんので
0.5<3-2.5<3-√6 <3-2.3=0.7
0.5=2-1.5<2-√2<2-1.3=0.7
としか評価できず、利用ができません。
仮に√2=1.4、√6=2.4（とはなりませんが）としても
3-√6 <3-2.4=0.6
2-√2<2-1.4=0.6
となって、大小の判定できません。
少なくても小数第２位以下までのでの数値が必要です。

その点で、参考URLのANo2の私の解法の方が良いと言えます。

お礼

回答ありがとうございます。

No1さんのリンクで勉強させて頂きました。
“分子を有理化する”という発想は、
なかなか出てきません。参考になりました。

回答No.1

j-mayol

こちらを参照してください。
http://okwave.jp/qa/q7974295.html

お礼

早速リンクを参照したところ、まったく同じ２数の比較のQAで、
しかも最近の投稿でびっくりしました。

どちらの方法も、小数の値を使わずに大小が
比較できている点において参考になります。
が、やはり少々煩雑になるのですね。。。