大小比較について

質問

log2５（底が２）と2log8１２の大小を比較せよというもんだいなんですが
2log8１２の底を変換して４/３＋2log2３/３となったのですがこの先どうしたらよいかわかりません

あと(1/3)^30と(1/5)^20の比較もしたいのですが
これもlogをつかうのでしょうか？

ご教示おねがいします。

回答No.1

koko_u_ · ベストアンサー

基本的には引き算をして大小を見極めることになりましょう。

X = log_2(5)
Y = 2*log_8(12) = 2*(log_2(12)/3)

として引き算

X-Y = を a*log_2(b)

の形に変形して下さい。

b > 1 なら X-Y > 0
b < 1 なら X-Y < 0

と判断できるように変形するんだよ。

回答No.3

kumipapa

2 log8(12) = (2/3) log2(12) = (2/3) ( 2 + log2(3)) としたというわけですね。対数の大小を比較するなら、対数の底を揃えておいて、（係数も揃えた上で）真数どうしを比較したいわけですから、(2/3) log2(12) をlog2(5) と比較することを考えれば良いでしょう。
比較の表現の方法はいろいろありそうですが、

2log8(12) = (2/3) log2(12) = (1/3) log2(12^2) = (1/3) log2(144)
log2(5) = (1/3) log2(5^3) = (1/3) log2(125)
∴ 2 log8(12) ＞ log2(5)

2log8(12) - log2(5) = (2/3) log2(12) - log2(5) = (1/3) log2( 12^2 / 5^3 ) ＞ 0
∴ 2 log8(12) ＞ log2(5)

2 log8(12) / log2(5) = 2 log2(12) / (3 log2(5)) = log2(12^2) / log(5^3) ＞ 1
∴ 2 log8(12) ＞ log2(5)

質問者さんのように変形しても・・・
2 log8(12) - log2(5) = 4/3 + 2/3 log2(3) - log2(5)
= 1/3( 4 + 2 log2(3) - 3 log2(5))
= 1/3 log2(2^4×3^2 / 5^3)
= 1/3 log2(144 / 125) ＞ 0
log2(12) を 2+log2(3) に展開した意味が・・・

＞　(1/3)^30 と (1/5)^20
log( (1/3)^30 ) = - log(3^30) = -10 log(3^3) = -10 log(27)
log( (1/5)^20 ) = - log(5^20) = -10 log(5^2) = -10 log(25)
より、log( (1/3)^30 ) ＜ log( (1/5)^20 )
∴ (1/3)^30 ＜ (1/5)^20
分かりにくければ、
log( (1/3)^30 ) = - 30 log(3)
log( (1/5)^20 ) = - 20 log(5)
としてから、両方の係数 30と20の最大公約数10を残してlogの中に戻すことを考えれば、両方の対数の係数を揃えることができますね。
-30log(3) = -10×3log(3) = -10 log(3^3)
-20log(5) = -10×2log(5) = -10 log(5^2)
という具合。

別に対数を使わなければならない（解けない）、というわけではないです。#2さんのご回答が良いと思う。

回答No.2

info22

log_2 (5)=(1/3)*log_2 (5^3)=(1/3)*log_2 (125)

log_8 (12)=log_2 (12)/log_2 (8)　←底の変換公式
=log_2 (12)/log_2(2^3)
=(1/3)*log_2 (12)

log_2 (125)＞log_2 (12)だから

∴log_2 (5)＞log_8 (12)

＞　(1/3)^30と(1/5)^20
(1/3)^30={(1/3)^3}^10=(1/27)^10
(1/5)^20={(1/5)^2}^10=(1/25)^10

1/27<1/25だから
(1/27)^10＜(1/25)^10
ゆえに
(1/3)^30＜(1/5)^20