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平方根を含んだ式の大小比較
はじめまして。 √7と3の大小比較などは、2乗して比べるなどして簡単にできますが、 それでは [4√7+6]と[6√6-1]などといった、平方根を含んだ式同士の大小比較は可能なのでしょうか? よろしくお願いします。
- toudaikyoudai
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4√7+6>6√6-1 ⇔ 4√7+7>6√6 ⇔ (4√7+7)^2>(6√6)^2 ⇔ 56√7>55 --------------- 56√7>56*1>55
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- alice_44
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この手の問題は、結論さえ得てしまえば、 後づけの理屈で証明する手段は山ほどある。 では、最初に 4√7+6 と 6√6-1 の大小を どうやって見切るのかと言えば、 √7 と √6 の近似値を知っているのが一番速い。 √2 = 1.41421356… √3 = 1.7320508… √5 = 2.2360679… √7 = 2.64575… 程度のことは、私が中学生の頃は、 かなり成績の悪い生徒でも知っていたものだが、 ゆとり以降の世代には困難かもしれない。 近似値を知らなければ、概算すればいい。 25×25 = 625 くらいは、流石に覚えているだろう。 あとは、26×26 = 676、27×27 = 729 を 順に計算してみれば、 √6 < 2.5 < 2.6 < √7 を発見できる。 これを使って、 4√7+6 > 4×2.6+6 = 16.4 6√6-1 < 6×2.5-1 = 14 となるから、 4√7+6 > 6√6-1 であることが判る。 上記をそのまま書いて証明としてもいいが、 かなりゴタゴタしているので、替わりに、 (4√7+6) - (6√6-1) > 0 を示す計算過程を 何かデッチアゲることになる。例えば、 A No.5 のように naive に書いてもよいし、 A No.4 のように書けば鮮やかだ。 他にもイロイロあるだろう。
- info22_
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単純に差をとると [4√7+6]-[6√6-1]=7+4√7-6√6 =(7+4√7-6√6) ←正の項と負の項を分ける =(7+4√7-6√6)(7+4√7+6√6)/(7+4√7+6√6) ←分子、分母に(7+4√7+6√6)(>0)を掛ける =[(7+4√7)^2-(6√6)^2]/(7+4√7+6√6) ←分子の計算(公式(A-B)(A+B)=A^2-B^2使用) =(56√7-55)/(7+4√7+6√6) ←ここで√7>1なので分子>0と分かる。 あるいは、さらに分子、分母に(56√7-55)>0を掛けると =(56√7-55)(56√7+55)/[(56√7+55)(7+4√7+6√6)] =[(56√7)^2-55^2)/[(56√7+55)(7+4√7+6√6)] ←分子の計算(公式(A-B)(A+B)=A^2-B^2使用) =(21952-3025)/[(56√7+55)(7+4√7+6√6)] =18927/[(56√7+55)(7+4√7+6√6)]>0 ∴ 4√7+6 > 6√6-1
- f272
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私なら √7が2.5よりもちょっと大きくて、√6が2.5よりもちょっと小さいのだから 4√7+6は16よりもちょっと大きくて、6√6-1は14よりもちょっと小さい。 と考える。
- debukuro
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差を取るのが常道ですがそれが出来ないときは 因数分解できるように二式それぞれに等しい数xを加えてから因数分解する xを見付けるのが大変ですがね
- okada2728
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大小の比較は基本はそのまま差をとることで、それが無理なら2乗して差をとるということではないでしょうか。 本問の場合、まずは引き算して、次に2乗して差をとることで比較できると思います。
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