累乗根の大小の問題です

質問

√（０．２）３乗
三乗根√（０．４）４乗
四乗根√（０．２）５乗

の３つの大小を比べよ、という問題です。
後ろの３乗４乗５乗は累乗根の中の数字にかかっています。
学校の課題で困っています。
よろしくお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

a=(0.2^3)^(1/2)=0.2^(3/2)=0.2・0.2^(1/3)
b=(0.4^4)^(1/3)=0.4^(4/3)=0.4・0.4^(1/3)
c=(0.2^5)^(1/4)=0.2^(5/4)=0.2・0.2^(1/4)
とおくと　a>0,b>0,c>0

(1/3)>(1/4)かつ
f(x)=0.2^xは基数が1より小さいので単調減少関数であるから

　∴a<c …(1)

bとcの大小関係を調べると b>0,c>0　かつ
b/c=0.4・0.4^(1/3)/(0.2・0.2^(1/4))
=(0.4/0.2)・0.4^(1/3)/0.2^(1/4)
=2・(2・0.2)^(1/3)/0.2^(1/4)
=2・2^(1/3)・0.2^{(1/3)-(1/4)}
=2・2^(1/3)・0.2^(1/12)
(b/c)^12=2^12・2^4・0.2=(2^17)/10=2^10・(2^7)/10=1024・128/10=1024・12.8>1
∴　b/c>1
b>0,c>0より　∴c<b …(2)

(1),(2)より　a<c<b

お礼

４人の方から回答をいただきありがとうございました。
参考にさせていただいたinfo22さんの回答を
ベストアンサーに選ばせていただきました。
丁寧な説明感謝します。

回答No.4

mister_moonlight

1/5＝α　とすると、0＜α＜1.
Ａ＝√α＾3、Ｂ＝(3)√(2α)＾4、Ｃ＝(4)√α＾5、Ａ＞0、Ｂ＞0、Ｃ＞0　とする。
Ａ＾2＝α＾3、Ｂ＾3＝(2α)＾4、Ｃ＾4＝α＾5　である。
Ｃ＾4-Ａ＾4＝α＾5*(1-α)＞0　　よつて、0＜α＜1より　Ｃ＞Ａ。
Ｂ＾12-Ｃ＾12＝α＾15*(2＾16*α-1)　。α＝1/5＞1/2＾16　→　2＾16*α-1＞0　よって、Ｂ＞Ｃ。

以上から、Ｂ＞Ｃ＞Ａ。

Ａ、Ｂ、Ｃの大小の見当をつけておくと、比較の回数は2回ですむ。
それができてないと、3回(上の比較に、ＡとＢの比較が加わる)になる。
Ｂ＾6　と　Ａ＾6　を比較する事になる。

回答No.2

Tacosan

適当に何乗かしてべき根を外してしまうのが簡単, か?

回答No.1

alice_44

三つとも 12 乗して比べる。