累乗根の話

質問

累乗根の話

n乗根a n√a
のn は、自然数でなければいけない、と教科書には書かれてあるのですが、マイナスの整数では何か矛盾が起きるのでしょうか？

たとえば、-3乗根2 などです。（添付画像参照）

回答No.3

ereserve67 · ベストアンサー

-3乗根2なら-3乗して2になる正の数ですね．それは3乗根(1/2)とするのが自然でしょう．

学校数学では累乗根は有理数の指数を定義するときに現れます．正の数aに対し，

m：整数，ｎ：自然数

として，

a^{m/n}=[n]√(a^m)（[n]はn乗根の意味）

と定義します．例えば

a^{-2/3}=[3]√(a^{-2})：3乗して1/a^2になる正の数

とします．もしこれを

a^{-2/3}=a^{2/(-3)}=[-3]√(a^2)：-3乗してa^2になる正の数

とするなら，ここに現れた新たな記法を明確に定義する必要があります．つまり，nを自然数，A>0として，

[-n]√A：n乗して1/Aになる正の数（または-n乗してAになる正の数）

この新たな根号が既存の根号と同様な計算則に従うかどうかはチェックする必要があります．そこに気をつけて使えば問題ないでしょう．

しかし，こういうことをしても無駄な表現が増えるだけならやらないほうがいいと思います．例えばa^{-2/3}とa^{2/(-3)}という同じ数に対して2通りの定義法を考えることが意味があるのかどうかという問題だと思います．

a

お礼

ありがとうございます。

>>例えばa^{-2/3}とa^{2/(-3)}という同じ数に対して2通りの定義法を考えることが意味があるのかどう かという問題だと思います．

具体例を提示していただきよくわかりました！！！

回答No.2

alice_44

a の n 乗根 a^(1/n) の n は、0 以外の複素数まで拡張でき、
自然数でなくても問題はありません。
根号を使って n√a と書くのは、n が自然数の場合だけ…という
記法上の話をしているのだと思いますよ。
n が分数になったりすると、n√ が n 乗根なんだか、√ の n 倍
なんだか、式が非常に見にくくなりますからね。

お礼

ありがとうございます。

式を見やすくするための取り決めなんですね。

回答No.1

faradayday

単に書き方のルールの問題でしょう。
矛盾が起きるというわけではないです。

指数関数の形で書けば
a^(1/n)
となって、nは一般の複素数です(自然数に限らずどんな数でもOKということ)。
念のためn=-3ならば
a^(1/n)=a^(-1/3)=1/a^(1/3)=1/(3√a)
となります。

お礼

ありがとうございます。
書き方のルールなんですね。