累乗根の性質

質問

累乗根の性質の４つ目の「m乗根√n乗根√a＝mn乗根√a」
ってやつで、これが成り立つ説明がわかりません。。。
その前になぜ、m乗根√a＝a^1/mになるかがわかりません。。。
どなたか教えてください(*'_`。*) ウゥ・・・ゥ・・ゥ…

回答No.2

shkwta · ベストアンサー

乗根√a＝a^1/m
これは、定義だと思ってください。もうすこし詳しく書くと、

　実数a (a≧0)について、b^m = a となる実数 b (b≧0)　を b = a^(1/m) と書く。

こう定義する理由は、指数法則が成り立つように整数乗を実数乗に拡張するためです。
指数法則では、
　(a^m)^n = a^(m n)
ですから、これに合うように　1/m乗を定義します。

b = a^(1/m) とおくと、
b^m = (a^(1/m))^m = a^(m(1/m)) = a^1 = a

したがって、bはm乗してaになる数でなければなりません。
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m乗根√n乗根√a＝mn乗根√a

証明は簡単です。x (x≧0) のp乗根を[p]√x ([p]√x ≧0) と書くことにします。

([m]√([n]√a))^(m n)
= (([m]√([n]√a))^m)^n
= ([n]√a)^n
= a

お礼

詳しい回答ありがとうございます(*'_`。*) ウゥ・・・ゥ・・ゥ…
定義ですか・・・；
はじめて知った；

回答No.1

matsu_jun

(A^m)^n = A^(m×n) というのは分かりますよね。
　(A^2)^3
＝(A×A) × (A×A) × (A×A)
＝A×A×A×A×A×A
＝A^6
ですものね。

m乗根√a＝a^1/m
両辺をm乗してやればよいですよね。
a = a
となります。

m乗根√n乗根√a＝mn乗根√a
(左辺) = (a^(1/n))^(1/m) = a^(1/mn) = (右辺)

お礼

回答ありがとうございます(*'_`。*) ウゥ・・・ゥ・・ゥ…
わかったようなわからないような；汗