累乗と累乗根の同値性について
- 累乗と累乗根の同値性については、指数を実数の範囲に制限して正数で考えると同値性が保たれます。
- ただし、無理数乗や無理数乗根を考える場合は、xとyが正数である場合に同値性が保たれます。
- 指数が偶数の場合には、同値性が崩れることがあります。xとyが負の数の場合には同値性は保たれません。
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累乗 累乗根 同値性 その2
累乗と累乗根の同値性について前回質問させて頂きました。 前回の質問内容:http://okwave.jp/qa/q7768635.html 前回、ご回答頂いた内容で、 >指数を実数の範囲にして同値性を保ちたいなら、 >x,y を正数だけに制限しておくのが安全です。 と教えて頂きました。 y=x^pにおいて無理数乗や、無理数乗根を考える場合はx,yは正数とすれば 同値性は保たれる理由はどうしてでしょうか? 指数が偶数の場合に、同値性が崩れると理解しています。 無理数は偶数ではないから、同値性が崩れることはないと考えているのですが そんなに単純ではないのでしょうか? x,yが正数でない場合(x,yが負の数)は同値性は保たれないのでしょうか? 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- RY0U
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とりあえずさ・・・手を動かそうよ xを実数とする x^p = a p<0の場合は(1/x) を考えればいいから省略 pが整数の場合ってのは, 完全に解が分かる.だからxが正だろうが負だろうが問題ない x,y>0だけで考えれば x^p=y^p と x=y が同値になる 分数の場合は?地道にp/q (p,q>0, p,qは互いに素)として 整数のケースに帰着させるように考える. この場合も x,y>0 とすれば x^p=y^p と x=y が同値になる x=0とかy=0はとりあえずややこしそうだから考えない x<0とかy<0のケースもそう. あくまでもx,y>0の場合だけで他のケースは考えてない 無理数乗は場合は? まずは,すでに指摘があるように「無理数乗」の定義をどうする? これがわかってないとだめ. わかってれば,極限の議論でわかる. 根本的には確かに「(-1)^2=1」があるんだけども これを直接理由つけにしてOKの人ってのは 流れを理解している人だけでしょう
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- Tacosan
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同意>#4. なお, あたりまえなんだけど #2 へのお礼にあるように無理数乗を「有理数乗の極限」と定義するなら, 「負数の無理数乗」を考えるためには最低限「負数の有理数乗」を決めておかなきゃならない. どうします?
>負実数の無理数乗はなぜ多価関数になるのでしょうか? これどこからでてきたんでしょうね? 複素数a,bに対してa^b=e^(bloga)(ただしloga=log|a|+iarga) を意識して言っているのでしょうか? あなたの言う「考える」は数学的に考えるというよりも法律 の勉強でもしているかのように見えます。 過去の判例がこうだったからこう解釈すべきか?みたいな。
- misumiss
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定義なんて, 気安く行なうものではありません。 試しに, e^π を御自身の方針で定義してみてください。 円周率 π に収束する有理数列の例を2つ挙げてください。 それらを (a_n), (b_n), また, e を自然対数の底として, c_n = e^(a_n), d_n = e^(b_n) とおきます。 (c_n), (d_n) がどちらも収束し, かつ lim c_n = lim d_n であることを証明してください。 どれか1つでもできないなら, 質問者さんは e^π を定義できないということです。 円周率 π に収束する有理数列は2つだけではありませんから, 仮に上の課題をクリアしても, まだ e^π を定義できたことにはなりませんけれどね。
- Tacosan
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そもそも「無理数乗」や「無理数乗根」をどう定義しているのですか?
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