累乗 累乗根 同値性

質問

x,yを実数、p,qを有理数として、

pが奇数のとき、
y=x^p ⇔ y^(1/p)=x
なので、同値性は保たれます。

pが偶数のとき、
y=x^p ⇔ y^(1/p)=x
は成り立たず、同値性は保たれない（同値変形でない）。
（x,yが正数であれば同値性は保たれる）

pが奇数で、qが偶数のとき（qが奇数で、pが偶数のとき）
y=x^（p/q） ⇔ y^(q/p)=x
は成り立たず、同値性は保たれない（同値変形でない）。
（x,yが正数であれば同値性は保たれる）

と理解しています。

p,qが無理数のときも同じように考えて良いのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

無理数を奇数と偶数に分けて考えよう
というつもりですか？
それは無理だと思います。

指数を実数の範囲にして同値性を保ちたいなら、
x,y を正数だけに制限しておくのが安全です。

お礼

新しく再度質問させて頂きます。
もしよろしければ、そちらにご回答頂けないでしょうか。

よろしくお願い致します。

補足

いつもご回答ありがとうございます。

すいません。。。p，qを無理数で奇数と偶数に別けるのは無理ですね。

＞指数を実数の範囲にして同値性を保ちたいなら、
＞x,y を正数だけに制限しておくのが安全です。
無理数乗や、無理数乗根を考える場合はx,yは正数とすれば
同値性は保たれるのですか？
また、正数でない場合（x,yが負の数）は同値性は保たれないのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。