指数関数の定義と性質における証明問題について。

質問

大学数学における「指数関数の定義と性質」に関する証明問題の解法についてお聞きしたいです。全ての番号の問いに答えて頂かなくても構いませんので、わかる範囲だけでもよろしくお願いします。
「a>1として以下の(1)～(7)のそれぞれの問いに対する証明を考える。
(1)任意の自然数pに対して、x^p=aを満たすx(1<x)が、唯一つ存在する(このxをa^(1/p)と表す)。
(2)正の有理数rが、r=q/p=q'/p'(p,q,p',q'は自然数)と表されるとき、a^(q/p)=a^(q'/p')>1がなりたつ(この値をa^rで表す)。
(3)正の有理数r,sに対して、a^ra^s=a^(r+s)が成り立つ。
(4)正の有理数の列{Rn}がlim(n→∞)Rn=0を満たすならば、lim(n→∞)a^Rn=1となる。
(5)正数xに対して、{Rn}および{Rn'}をxに収束する単調増加な有理数の列とするとき、数列{a^Rn}および{a^Rn'}は収束して、
lim(n→∞)a^Rn=lim(n→∞)a^Rn'>1 が成り立つ(この値をa^xと表す)。
(6)正数x,yに対して、a^xa^y=a^(x+y)が成り立つ。
(7)関数f(x)=a^x(x>0)は連続関数である。」

以上の証明方法を教えて頂きたいと思います。分かりづらい点もあるかも知れませんが、よろしくお願い致します。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

a>1
とする
(1)
任意の自然数pに対して
1≦xとなる任意のxに対して
f(x)=x^p-a
とすると
fは連続で
f(1)=1-a<0
f(2a)=(2a)^p-a=a{(2^p)a^{p-1}-1}>0
だから中間値の定理から
f(x)=x^p-a=0
となるx>1が存在する
f(y)=0となるy>1が存在するならば
s=Σ_{k=1～p}(x^{p-k})(y^{k-1})
とすると
f(x)-f(y)=x^p-y^p=(x-y)s=0
s>0だから
x=yとなるから
∴任意の自然数pに対してx^p=aとなるx>1が唯一存在する

(2)
正の有理数rが,r=q/p=q'/p'(p,q,p',q'は自然数)と表されるとき,
qp'=pq'
だから
a^{qp'}=a^{q'p}>1
だから
a^{q/p}=(a^q)^{1/p}
と定義すると
(a^{q/p})^{pp'}
=[(a^q)^{1/p}]^{pp'}
=([(a^q)^{1/p}]^p)^p'
=(a^q)^p'
=a^{qp'}
=a^{q'p}
=(a^q')^p
=([(a^q')^{1/p'}]^p')^p
=[(a^q')^{1/p'}]^{p'p}
=(a^{q'/p'})^{p'p}>1
↓
(a^{q/p})^{pp'}=(a^{q'/p'})^{pp'}>1
(1)から自然数pp'に対して
x^{pp'}=(a^{q/p})^{pp'}となるx>1が唯一存在するから
a^{q/p}=a^{q'/p'}>1

(3)
正の有理数r,sに対して,
r=q/p,s=k/j
となる自然数p,q,j,kが存在する
r+s=(qj+kp)/pj
a^{qj+kp}>1
だから
{(a^r)(a^s)}^{pj}
=[a^{q/p}a^{k/j}]^{pj}
=([(a^q)^{1/p}][(a^k)^{1/j}])^{pj}
=([(a^q)^{1/p}]^{pj})([(a^k)^{1/j}])^{pj})
={([(a^q)^{1/p}]^p)^j}{([(a^k)^{1/j}]^j)^p}
={(a^q)^j}{(a^k)^p}
=(a^{qj})(a^{kp})
=a^{qj+kp}
=[(a^{qj+kp})^{1/pj}]^{pj}
=(a^{(qj+kp)/pj})^{pj}
=(a^{r+s})^{pj}>1
↓
{(a^r)(a^s)}^{pj}=(a^{r+s})^{pj}>1
(1)から自然数pjに対して
x^{pj}=(a^{r+s})^{pj}となるx>1が唯一存在するから
(a^r)(a^s)=a^{r+s}

(4)
正数x≠yと自然数kに対して
(y^k-x^k)/(y-x)=Σ_{j=1～k}(y^{n-j})(x^{j-1})>0
だから
1<x<y←→1<x^k<y^k………(A)
となる

正の有理数の列{R_n}がlim(n→∞)R_n=0を満たす
R_n=q_n/p_n
とする
∀自然数m→∃自然数n_m(∀自然数n>n_m→R_n<1/m)

∀ε>0
→∃自然数n_0>max(1,a-1)/ε
∀自然数m>n_0
→
(a^{1/m})^m=a<1+n_0ε<(1+ε)^n_0<(1+ε)^m
→
a^{1/m}<1+ε
∀自然数n>n_m→R_n<1/mだから
q_n/p_n=R_n<1/m
mq_n<p_n
a^{p_n}-a^{mq_n}=a^{mq_n}(a^{p_n-mq_n}-1)>0
↓
(a^{R_n})^{mp_n}
=(a^{q_n/p_n})^{mp_n}
=a^{mq_n}
<a^{p_n}
=(a^{1/m})^{mp_n}
↓(A)から
1<a^{R_n}<a^{1/m}<1+ε
だから
|a^{R_n}-1|<ε
∴
lim(n→∞)a^{R_n}=1

(5)
自然数n,mに対してa^m-a^n=(a^n)(a^{m-n}-1)
n<m→a^{m-n}>1
n≧m→a^{m-n}≦1だから
n<m←→a^n<a^m………(B)
となる
有理数0<t<uに対してt=q/p<k/j=uとなる自然数p,q,j,kがある
qj<kpだから(B)から
a^{qj}<a^{kp}
1<(a^t)^{pj}=a^{qj}<a^{kp}=(a^u)^{jp}
↓(A)から
1<a^t<a^u
有理数0<t<u→1<a^t<a^u………(C)

正数xに対して
{R_n}および{R'_n}をxに収束する単調増加な正有理数の列とすると
x<bとなる有理数bがある
n<mとなる自然数n,mに対して
0<R_n<R_m<x<b
↓(C)から
1<a^{R_n}<a^{R_m}<a^b
{a^{R_n}}は有界単調増加だから収束する
lim_{n→∞}a^{R_n}=v>1
とする
同様に
1<a^{R'_n}<a^{R'_m}<a^b
{a^{R'_n}}は有界単調増加だから収束する
lim_{n→∞}a^{R'_n}=w>1
とする
v<wならば
v<a^{R'_n}<w
となるnがある
R'_n<xだから
R'_n<R_m<x
となるmがある
v<a^{R'_n}<a^{R_m}<v
となって矛盾する
同様に
w<vのときも矛盾するから
v=w
∴
lim_{n→∞}a^{R_n}=lim_{n→∞}a^{R'_n}>1

(6)
正数xに対して
x=lim_{n→∞}R_n,{R_n}は単調増加
a^x=lim_{n→∞}a^{R_n}
となる有理数列{R_n}がある
正数yに対して
y=lim_{n→∞}S_n,{S_n}は単調増加
a^y=lim_{n→∞}a^{S_n}
となる有理数列{S_n}がある
lim_{n→∞}(R_n+S_n)=x+y
だから
(a^x)(a^y)
=lim_{n→∞}a^{R_n}lim_{n→∞}a^{S_n}
=lim_{n→∞}a^{R_n}a^{S_n}
=lim_{n→∞}a^{R_n+S_n}
=a^{x+y}

(7)
0<x<yとなる正数x,yに対して
x=lim_{n→∞}R_n
lim_{n→∞}a^{R_n}=a^x
となる単調増加正有理数列{R_n}がある
y=lim_{n→∞}S_n
lim_{n→∞}a^{S_n}=a^y
となる単調増加正有理数列{S_n}がある
x<S_n<yとなるnがある
S_nは{R_n}の上界だから
a^x<a^{S_n}<a^y
だから
0<x<yとなる正数x,yに対してa^x<a^y………(D)

f(x)=a^x(x>0)
b>0
とすると
b=lim_{n→∞}R_n
となる単調増加正有理数列{R_n}がある
b=lim_{n→∞}S_n
となる単調減少正有理数列{S_n}がある
R_n<b<S_n

∀ε>0に対して
→∃n_0(∀n>n_0→|S_n-R_n|≦|S_n-b|+|R_n-b|<ε)
→lim_{n→∞}|S_n-R_n|=0
↓(4)から
lim_{n→∞}a^|S_n-R_n|=1
→lim_{n→∞}a^{S_n}=lim_{n→∞}a^{R_n}=a^b

∀ε>0に対して
→∃n_0(∀n>n_0→|a^{R_n}-a^b|<ε,|a^{S_n}-a^b|<ε)
だから
δ=min(|R_{n_0+1}-b|,|S_{n_0+1}-b|)
とすると
|x-b|<δ
となる∀xに対して
R_{n_0+1}≦b-δ<x<b+δ≦S_{n_0+1}
↓(D)から
a^b-ε<a^{R_{n_0+1}}<a^x<a^{S_{n_0+1}}<a^b+ε
|a^x-a^b|<ε
↓
∴f(x)=a^xは連続

お礼

わかりやすい証明で理解の手助けになりました。ご回答ありがとうございました。