同値について

質問

例えば「実数ｘ、ｙがX^2+Y^2=4を満たしながら動くとき２x+yの取りうる値の範囲をもとめよ」
という問題で、解答では
X^2+Y^2=4、２x+y＝kを満たすような実数ｘ、ｙが存在する
ということと
X^2+（kー２x）^2=4　を満たすような実数ｘが存在することは同値である
と書かれていたのですが、同値とはどういう意味でしょうか？
また、同値ならばどのようなことがいえるのでしょうか？
のみこみが悪いので、丁寧に教えていただけると助かります

回答No.4

f272 · ベストアンサー

#3です。
(1)「x^2+y^2=4，2x+y=kを満たすような実数x，yが存在する」と
(2)「x^2+(k-2x)^2=4を満たすような実数xが存在する」と
(3)「5x^2-4kx+k^2-4=0を満たすような実数xが存在する」と
(4)「判別式D/4=4k^2-5(k^2-4)≧0」と
(5)「k^2≦20」と
(6)「-2√5≦k≦2√5」と
はすべて同値です。
同値でなければ，その状況に応じて言えることが異なります。
例えば
(2')「x^2+(k-2x)^2≧4を満たすような実数xが存在する」
であれば(1)⇒(2')はいえますが，(2')⇒(1)はいえません。
こんなとき(2')が言えたとしても，その後にどう考えればいいのでしょうか？役に立ちそうもないですね。

お礼

質問に対しても丁寧に答えていただきありがとうございます！
求めていたものに一番近かったためＢＡにさせていただきます

回答No.3

f272

丁寧に書いてみます。
(1)
x^2+y^2=4，2x+y=kを満たすような実数x，yが存在する
とすれば，そのようなx，yはx^2+y^2=4を満たします。また2x+y=kも満たします。したがってy=k-2xであって，x^2+(k-2x)^2=4です。つまりx^2+(k-2x)^2=4を満たすようなxが存在すると言うことがいえました。
(2)
x^2+(k-2x)^2=4を満たすようなxが存在する
とすれば，そのようなy=k-2xとすると，そのyを使ってx^2+y^2=4とかけます。また2x+y=kも満たします。つまりx^2+y^2=4，2x+y=kを満たすような実数x，yが存在すると言うことがいえました。

結局のところ(1)と(2)の両方が成立します。
「x^2+y^2=4，2x+y=kを満たすような実数x，yが存在する」から「x^2+(k-2x)^2=4を満たすようなxが存在する」も導けるし，その逆も可能です。つまり2つは同じことをっているのです。それを同値といいます。

補足

毎度毎度ありがとうございます！非常にありがたいです
ところで質問なんですが、
x^2+(k-2x)^2=4を満たすような実数xが存在する　ならば
判別式Ｄ＝・・・・≧0となってｋの範囲が絞られてkがこの範囲にあるとき
逆にx^2+(k-2x)^2=4を満たすような実数xが存在するとなっていくのですが、先程のところで（私が質問したところで）同値でなければ、つまり例えば(1)ならば(2)は成り立つが(2)ならば(1)が成り立たないという場合にはどう言うことが言えないのでしょうか？
「x^2+y^2=4，2x+y=kを満たすような実数x，yが存在する」となるようなｋの値の範囲が先程判別式で絞られたときから変化するのでしょうか？

回答No.2

nihonsumire

#1の方の回答で必要にして十分なんですが、補足させてください。
x^2+y^2=4,2x+y=k ------(1)　←xが解ればればyも求められる
x^2+(k-2k)^2=4 ----------(2)
(1)の答えxと(2)の答えxが同じ値になるという意味だと思えばいい。

回答No.1

trytobe

A ならば B がなりたつし、B ならば A がなりたつ、

という必要十分条件な状態のことを「同値」（AとBは同じことを示している）というのです。