絶対値を含む一次不等式の問題について

質問

学校の先生に質問したのですがよくわからなかったのでここで質問させていただきます。（高校１年生です）
（=のついた不等号は=を不等号の右に書きました）

２つの不等式
| x-7 | < 2 ...(1)
| x-3 | < k ...(2)
に ついて、次の問いに答えよ。ただしkは正の定数とする。
・(1),(2)をともに満たす実数xが存在するようなkの値の範囲を求めよ
・(1)の解が(2)の解に含まれるようなkの値の範囲を求めよ

はじめの問題は
(1)を解いて　5 < x < 9
(2)を解いて　3-k < x < 3+k
ここで、(1),(2)をともに満たす実数xが存在しないとき、
3+k < 5　または　9 < 3-k
あわせて　k < 2 ...(3)
(1),(2)をともに満たす実数xが存在するとき、(3)より
k >= 2

と思ったのですが、解答は　k > 2　となっています。
実際に代入してみると確かに解答の通りなのですが、そのようになる考え方が分かりません。分かる方、回答を宜しくお願いします。

また、２つ目の問題で(1)の解が(2)の解に含まれるということは、
(1)の解がすべて(2)の解になっていると解釈していいのでしょうか？
分かる方、回答を宜しくお願いします。

回答No.3

mister_moonlight · ベストアンサー

＞ここで、(1),(2)をともに満たす実数xが存在しないとき、3+k < 5　または　9 < 3-kあわせて　k < 2 ...(3)(1),(2)をともに満たす実数xが存在するとき、(3)よりk >= 2

考え方は間違いではないが、(1)と(2)を共に満たす実数xが存在しないのは、3+k ≦ 5　、or、　9 ≧ 3-k。
数直線を書いてみる、その時に等号に注意。
k＞0より、2≧k＞0　であるから、条件を満たすのは、k＞0より　k＞2.

＞(1)の解がすべて(2)の解になっていると解釈していいのでしょうか？

数直線を書いてみると、3+k と 5　と　9 と 3-k　の大小関係がどうなるべきか（等号に注意）？

お礼

ご回答ありがとうございます。
１つ目の質問については、ようやく納得できました。
(1)の解は 5 も 9 も含まず、(2)の解は 3-k も 3+k も含まないので、
3+k = 5　や　3-k = 9　の場合でも、(1)と(2)の解が重なることは無いということですね。
２つ目の質問については、ヒントも出して下さり、ありがとうございました。おかげで解決できました。

回答No.2

koko_u_u

>１つ目の質問について、考え直すということは数を１つずつ代入するしか無いのでしょうか。

字義通り「もう一度考える」という意味です。方法は問いません。

お礼

質問の仕方が悪かったようで、申し訳ありません。
ご回答ありがとうございました。

回答No.1

koko_u_u

>そのようになる考え方が分かりません。
自分の解答で解の境界がぴったり重なる場合を考えなおすだけです。

>また、２つ目の問題で(1)の解が(2)の解に含まれるということは、
>(1)の解がすべて(2)の解になっていると解釈していいのでしょうか？
そうです。(1)の解の集合が(2)の解の集合に含まれる、という意味です。

補足

回答ありがとうございます。２つめの質問については納得できますが、
１つ目の質問について、考え直すということは数を１つずつ代入するしか無いのでしょうか。