これは同値？？

質問

log1/2(x-3)(x-5)＞1/2log1/2(x-3)^2(7x-4)^2・・・(1)

log1/2(x-3)(x-5)＞log1/2(x-3)(7x-4)・・・(2)

この二つは同値でしょうか？

解答では(1)は
log1/2(x-3)^2(x-5)^2＞log1/2(x-3)^2(7x-4)^2・・・(3)
と変換されています。

(2)と(3)では解答もちがってきます。

もし(1)(2)が同値でないとしたらどうしてでしょうか？

回答No.2

Tacosan

対数は真数が正の範囲でしか定義できません. 従って, (1)～(3) のそれぞれで「真数が正であるような x の範囲」を確認しておかなければなりません.
(1) と (3) については, (3) を「x < 3 または x > 5」に限定すれば同値. 同様に, (1) において 「x < 4/7 または x < 3」に限定すると (2) と同値. 考え方を変えると, (2) の右辺で真数の絶対値をとっておけば完全に (1) と同値です.

回答No.1

Rice-Etude

もしかしたら間違っているかもしれませんが...

※底が1/2で共通みたいですので、分かりやすくするため底は省略（logのみの表記と）します。

logαと書いた場合、一般定義上α＞0となります。

ここで(1)の右辺を見ると
1/2log(x-3)^2(7x-4)^2
となっています。ここで
(x-3)^2(7x-4)^2＞＝0
となり、0以上であることが分かります。よって、logの定義域から除外されるxの値は3と4/7だけ（このときだけ0になるため）になります。

一方(2)の右辺は
log1/2(x-3)(7x-4)
ですが、このときxの値によっては
(x-3)(7x-4)＜＝0
となる値が存在するので、その値を除外する必要があります。よって、除外されるxは4/7＜＝x＜＝3となります。

よって(1)と(2)ではxが取れる値が異なるので、違う式と言えるでしょう。