同値なノルムについて教えてください＞＜

質問

同値なノルムについて教えてください＞＜

問題で考え方がわからないのでどなたか教えていただけないでしょうか＞＜

問、ノルム||・||1において線形空間Ｘが完備ならば、||・||1に同値なノルム||・||２においても完備であ　　ることを示せ。

です。どう証明すればいいのでしょうか？「同値ならバナッハ空間の構造も同じ」と参考書に書いてあり、それならば||・||２においても完備なのは当たり前じゃないかと思ってしまうのですが・・・
ご指導のほう、よろしくお願いいたします！！

回答No.1

Anti-Giants

＞＞「同値ならバナッハ空間の構造も同じ」と参考書に書いてあり、それならば||・||２においても完備なのは当たり前じゃないかと思ってしまうのですが・・・
　その当たり前のことを問いかけているのではないでしょうか。
　「同値ならバナッハ空間の構造も同じ」ことを証明すればいいのでは。
　つまり、norm1の定める位相と、norm2の定める位相が等しいことを示す。

証明の概略。

a×norm2≦norm1≦b×norm2.

norm1の定める開集合A.
B1(x,r)はnorm1による中心x半径rの開球。
B2(x,r)はnorm2による中心x半径rの開球。
B1(x,r)={y:norm1{x,y}<r}⊃{y:a×norm2{x,y}<r}=B2(x,r/a).

A=∪{B1(x,r(x)):x in A}⊃∪{B2(x,r(x)/a):x in A}⊃A.

よってA=∪{B2(x,r(x)/a):x in A}より

norm1の定める開集合は、norm2の定める開集合でもある。
逆は同様の方法で示せる。

お礼

Anti-Giantsさん、教えていただいてありがとうございます！！

ただ、申し訳ありません＞＜
僕、ノルムについて、本当に本当に初心者でして・・・
今まで習った内容にはノルムの定める位相というものを習っていないのです＞＜

他の解答例みたいなものはありますでしょうか？？
もしよかったら教えていただきたいです＞＜