e^y=x^3/3-x^2+Cとy=log|x^3/3-x^2+C|とは同値?

質問

おはようございます。

練習問題で
dy/dx=x(x-2)/e^yという微分方程式
を解け。
という問題です。

解答は
e^ydy=x(x-2)dx
∫e^ydy=∫(x^2-2x)dx
e^y=x^3/3-x^2+C
で最終的な答えは
y=log|x^3/3-x^2+C|
となっています。

ここで疑問なのですがこの解答文は
e^y=x^3/3-x^2+C
と
y=log|x^3/3-x^2+C|
とは同値と言う解釈ですよね。

でもでも
e^y=x^3/3-x^2+C
と
y=log|x^3/3-x^2+C|
とでは明らかに定義域が異なる
(前者はx=(-3C)^(1/3)を(真数条件の為)代入できないが後者はできる)
ので同値とは言えませんよね。

答えはy=log(x^3/3-x^2+C)と書くべきではないのでしょうか?

回答No.1

adinat · ベストアンサー

おっしゃる通りで、y=log|x^3/3-x^2+C|は微分方程式dy/dx=x(x-2)/e^yの大域解ではないですね。明らかに絶対値の中身が負のとき、dy/dx=-x(x-2)/e^yであって、元の微分方程式を満たしていません。y=log(x^3/3-x^2+C)が正しいです。

ただ、y=log(x^3/3-x^2+C)だと仮定して、もとの微分方程式に代入すると、dy/dx=((x^3/3-x^2+C)')/(x^3/3-x^2+C)という形になっていて、これを解け、という問題ならy=log|x^3/3-x^2+C|で正しいのです。とはいえ、x^3/3-x^2+C>0でないともとのyとは一致しません。一方で、y=log|x^3/3-x^2+C|なら、logの中身で正のところでdy/dx=((x^3/3-x^2+C)')/(x^3/3-x^2+C)、負のところでdy/dx=-((x^3/3-x^2+C)')/(x^3/3-x^2+C)を満たしているから、純粋にこれを解け、といわれれば、y=log(x^3/3-x^2+C)on(x^3/3-x^2+C>0)、y=-log(-x^3/3+x^2-C)on(x^3/3-x^2+C<0)という結論になります。後者の場合はx^3/3-x^2+C<0で明らかに矛盾しているんですね。

結局、y=log(x^3/3-x^2+C)なのであって、絶対値の中身が正である限り、y=log|x^3/3-x^2+C|と書いてもよいという程度でしょう。解答作成者が何か勘違いをしているのだと思います。

お礼

有り難うございます。

おかげさまで納得できました。