微分方程式で答えの左辺がyじゃなくて(y-x)^2

質問

次の微分方程式の一般解を求めよ。
dy/dx = y-x + 1 + 1/(y-x)

という問題ですが、本の答えが
　　　　　(y-x)^2 = C'c^(2x) - 1
になっています。
この本では、それまでの問題の答えはすべて y = ○△□ + C のような形で、左辺が y= でした。
ですので、何故この問題では(y-x)^2を展開して y= の形にしないのか疑問です
（しかも、この問題以降も左辺が y= ではない答えばかりになっています）。
確かに、展開しても
　　　　　y^2 -2xy = e^(2x) e^(2c) - x^2 - 1
辺りで行き詰ってしまいますが・・・。

y= にすべきときとそれ以外のときの判定方法というのはありますか？
どうかお願いします。

回答No.4

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk） · ベストアンサー

No.1です。

>　e^(y)*e^(-c) - y = x + 1
が解答とされているのは、左辺がyの関数、右辺がxの関数であるからです。
簡単且つ意味のある書き方が解答に採用されているだけです。

>　y = e^(y)*e^(-c) - x - 1
これでもいいのですが、yを表すのにyを使っているので、式の意味を考えたときに美しくないと判断されます。
どうせならx=で書いた方が綺麗にかけます。

お礼

ああーっ、確かに他の問題も含めて y= の形になっていない答えは（今のところ）すべて、左辺がyの関数になっています！
これで完全に理解できました。
もう迷うことはないです。
ありがとうございました！

回答No.3

ereserve67

例えば

dy/dx=f(y)

という微分方程式があったとしましょう．これはいわゆる変数分離で簡単に解けます．

dy/f(y)=dx,∫dy/f(y)=x+C

すでにyについて解かれていませんが，陰関数の存在定理からある点の近傍ではy=の形の関数の存在が保証されます．

このように簡単な形の微分方程式でもy=の形に解が書きにくい場合はたくさんあります．しかし，F(x,y)=0の形で積分できれば陰関数の存在定理もあるし，y=の形に解こうと思えば解ける場合もあるので，わざわざそうせずにF(x,y)=0の形でとめるわけです．

すべきときはそのときにやればよいのではないですか．

お礼

実は陰関数の存在定理についてよく理解できていません。本には一応載っているんですが・・・。
ありがとうございました。

回答No.2

Knotopolog

１階の常微分方程式

f(x, y, y') ＝ 0

の一般解は，

g(x, y, c) ＝ 0,　　　c は積分定数．

であればいいのです．つまり，積分定数が１つ含まれている式が得られれば，それで１階の常微分方程式を解く作業は終わりです．

後は，y ＝ u(x, c) にしたければ，書き直せばいいし，x ＝ v(y, c) にしたければ，それでも良いし，必要に応じて，変形します．

y ＝ u(x, c) の u(x, c) が無限級数になる事もあります．

１階常微分方程式とは，そういうものです．

お礼

１階常微分方程式は積分定数が1つ含まれていれば解けたことにしていいんですね。
ありがとうございました。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

xとyの関係式が示せればOKです。

ちなみに、x=cy+e^kyみたいになって、y=…で書けないものも存在するのです。
微分方程式を解くと言うのは、一般的な関係式で表すことができれば、解いたことになるのです。

お礼

ありがとうございます。
左辺はなんであっても関係が示せればいい、という意味ですか？

今、次の問題を解いてみました。こっちのほうが良い例になりそうです。
問題は
　　　　　dy/dx = 1/(y+x)
で、本の答えが
　　　　　e^(y)*e^(-c) - y = x + 1
になっていて、自分の答えは
　　　　　y = e^(y)*e^(-c) - x - 1
です。
この場合は、明らかに y= の形で示せるはずなのに何故か変な形になっています。追加の質問になってしまいますが、

(1) y= の形で書いても正解がもらえますか？
(2) 何故、わざわざ変な形で書いたのでしょうか？

どうかお願いします。