同値類XとClの関係がわかりません

質問

例えば、
　　　　　ｍ∈N　について、同値関係を「２をModとする関係」と定義すると、
　　　　　０を代表元とする同値類Cl(０)は、
　　　　　Cl(０)＝{０、２、４、、、}
　　　　　１を代表元とする同値類Cl(１)は、
　　　　　Cl(１)＝{１、３、５、、、}

　　　　　ですが、単に「同値類Xは？」と言われると、これがわからんのです。
　　　　　この場合の同値類Xは、
　　　　　X＝Cl(０)　または　X＝Cl(１)
　　　　　で合ってますか？
　　　　　{Cl(０)、Cl(１)}　だと、これは商集合ですよね
　　　　　（それとも、これは誤解？）

回答No.2

settheory · ベストアンサー

＞というのがあり、僕にとっては、∃Xが「いきなり」と感じるのです。

この文章ではどちらかといえば、「任意の」同値類という意味で、「一つの」を使っているでしょう。どの同値類も、そこに属する要素がどれも代表元になる、という性質をもっています。（別の言い方をすれば、ｘとｙが同値なら、それぞれのなす同値類は等しいということ。）

同値類を表すときは、先に同値関係をいれてる集合Ｓの要素ｘをとってきて、[ｘ]（ｘの同値類）とやるのが普通です。つまり、先に代表元をとって、それで表示するということです。

場合によっては[]をはずして、代表元と、その同値類を同一視することもよくあります。（ただ“ｘ”としか書いてないのに、それをｘの同値類としてみるということです。）

代表元を明示せず、「同値類Ｘは」というのは滅多にないと思います。最初に挙げた性質を説明する都合上、そういう表現を無理にやったように思います。

もともと、同値類は、要素を伴った形で定義された概念と思います。英語版のwikipediaでは、そういう風に書いてます。

冒頭の「 the equivalence class of an element a in X」がそうです。正確に述べると長くなるので、「同値類」「equivalence class」のところだけ、出てきてしまうのでしょう。

参考URL：

http://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_class

お礼

＞「任意の」同値類という意味で、「一つの」を使っているでしょう。
そういうことですか。
「∀Xについて、、、、X の代表元として x をとるという」　
ならわかります。
ありがとうございました。

尚、何故、同値類や商集合を知りたったかというと、
ヒルベルト空間に興味を持っていて「距離空間の完備化」を理解したかったからです。
http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/62700932.html
ですが、アドバイス頂ければ幸いです。

回答No.1

settheory

同値類も商集合のところも合っています。

「同値類Ｘは」と、いきなりでてくる表現はあまり思い当たらないのですが・・　商集合の方が議論の対象で、そこの要素のことを言うのであればなくはないかもしれませんが。

どういう話の流れでこういう表現がでてきたのか、具体例がありましたら補足にお願いします。

よくあるのは、同値関係をいれてる集合の要素ｘに対して、
「ｘの同値類」という言い回しです。これは、ｘと同値なものを全て集めた集合（ｘを代表元とする同値類）を表します。つまり、Cl(ｘ)のことになります。

お礼

解答、ありがとうございます。
ちょっと、自信がつきました。

＞具体例
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%96%A2%E4%BF%82
に、
＞一つの同値類 X に対して、[x] = X となる S の元 x を定めることを、、、
というのがあり、僕にとっては、∃Xが「いきなり」と感じるのです。

＞ｘの同値類
は、「ｘと同値な元のなす同値類」ですね。