商集合の問題です

質問

X1、X2を実数全体の集合とし、XをX1とX2の積集合とする。Xの任意の元ｘ＝〈x1,x2〉、ｙ＝〈y1,y2〉についてｘ～ｙをx1=y1と定めるとき、次の問いに答えよ。

(1)関係～はX上の同値関係であることを示せ。
(2)～による同値類C(〈０，０〉)はXの中のどのような部分集合となるか。
(3)商集合X/～はどのような集合とみなされるか。

＊定義
関係～を集合X上の同値関係とする。Xの任意の元aに対して、aと～関係のあるXの元全体の集合をC(a)とするとき、すなわち
C(a)＝｛ｘ∈X：ｘ～a}
とおくとき、C(a)をaを含む同値類という。

集合Xとその上の同値関係～について同値類をそれぞれ１つの元とみなす集合をXの～による商集合といい、X/～で表す。
すなわち、X/～＝{C(a)：a∈X}
とする。

ヒントだけでもお願いします。

回答No.3

noname#221368

自分も、#2さんの応答を見て、#1さんの趣旨がわかりました。自分も結論としては、#2さんに賛成です。

　で、ヒントという事なので、イメージを書きます。

　「X1、X2を実数全体の集合とし、XをX1とX2の積集合」とするので、実数全体の集合であるX1やX2は、Ｒと書きます。ＸはX1とX2（ＲとＲ）の積集合なので、Ｒ^2と書きます。OKですよね？(^^；)。

　という訳で問題の舞台は、「2次元の座標平面」です。

＞(1)関係～はX上の同値関係であることを示せ。

　「Xの任意の元ｘ＝〈x1,x2〉、ｙ＝〈y1,y2〉についてｘ～ｙをx1=y1と定める」のだから、Ｒ^2（＝Ｘ）の任意の2点x，y（任意の元x，y）について、その第一成分が等しい時に、x～yと定める、という事なので、注目すべきところは「x1=y1」だけです。

　等号は同値関係である、という話は聞いた事があると思います。同値関係である等号関係から、関係～は定義されているので、証明のサンプル点として、ｘ＝〈x1,x2〉、ｙ＝〈y1,y2〉，z＝〈z1,z2〉でも使って、～が同値関係である事を示して下さい。教科書か、講義のノートに従って。

＞(2)～による同値類C(〈０，０〉)はXの中のどのような部分集合となるか。

　同値類C(〈０，０〉)は、Ｒ^2（＝Ｘ）の中のどんな図形になるか？です。同値類とは「＊定義」にあるように、同値関係～を満たすＸの元を(Ｒ^2の点を)集めた、「Ｘの（Ｒ^2の）」中の部分集合の事です。

　(1)よりこれは、第一成分が（x座標が）一致する点を集めて作った、Ｒ^2の部分集合と思えませんか？。思えるなら、答えは明らかと思います。

＞(3)商集合X/～はどのような集合とみなされるか。

　この部分については、「なんだこれ？」っていう違和感が、最初はあるかも知れません。ポイントは、「Ｘの（Ｒ^2の）部分集合である」Ｃ(a)は、沢山の要素を持つけれど、a∈Ｃ(a)でb∈Ｃ(a)なら、Ｃ(a)＝Ｃ(b)という点です。

　つまり同値類Ｃは、内部の元によらず、同値関係～だけで「１個のものとみなせる」という観点です。それを保証するのが、「a∈Ｃ(a)でb∈Ｃ(a)なら、Ｃ(a)＝Ｃ(b)」の証明です。この証明はじつは、同値関係の定義から明らかです。教科書か、講義のノートに従って示し、納得して下さい。

　商集合X/～とは、「同値類Ｃが、同値関係～だけで１個のものとみなせる」ので、それらＣを集めた集合って可能だよな？、って話です。商集合は、集合の集合になります。

　商集合は何のために？、って言われるとちょっと困りますが、ここでは「数学において、なくてはならぬ程に役に立つから」、とだけ答えておきます(^^；)。あなたが数学科なら、特にそうです。

回答No.2

boiseweb

#1の回答内容は，私は言わんとすることを理解できますが，質問者に対して助けにならないばかりか，かえって質問者を不必要に混乱させる可能性があるという意味で，感心しません．

「積集合」という語を「集合共通部分 intersection」の意味に用いる用語法の普及の度合いは，私の理解では「情報科学・離散数学方面での方言」程度のもので，数学において広く共有された用語法とはとてもいえません．純粋数学では「集合共通部分」を「積集合」と言い表すのはむしろ少数派です．
一方，「積集合」という語を「直積 cartesian product」の意味に用いるのは，一般的とはいえませんが，不適切とまではいえません．英語では文脈によって単に product と言って cartesian product を意味するのは自然なことで，そこでの　product を日本語で「積集合」と言い換えることに不自然さはなく，それを拒絶するのは不当です．

「積集合」という語の解釈が「集合共通部分」以外にあり得ないという考えはあまりにも狭量な偏見で，その考えを自分以外の人に押しつけるのは乱暴です．
しかも，今回の質問の文面からは「積集合」が「直積」と解釈されるべきことは明白で，それをわかっていながらあえて「積集合とは集合共通部分でそれ以外の解釈はあり得ない」という偏狭な解釈で回答するという態度は，質問者に対する意地悪でしかなく，いただけません．

質問の文面は確かに「宿題丸投げ」のように思えて，その態度をたしなめたくなる気持ちは理解できますが，用語法の揚げ足取り（というより「曲解」）で質問者を揶揄するのは，批判の手段として不適切でしょう．

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質問に対する私の回答は次のとおりとします．

(a) #1の回答内容は無視してください．
(b) 質問内容は教科書レベルの初歩的な演習問題なので，まずは「直積」「同値関係」「同値類」「商集合」について自分で確かなイメージを持てるように，教科書（授業？）の内容を自分自身で咀嚼すべきです．それをすることなしには，誰かからヒントが与えられても，全く役立たないでしょう．

回答No.1

Tacosan

実数全体の集合 X1, X2 に対して X を「X1とX2の積集合」としたら, X も実数全体の集合になる. したがって X の元は実数であるが, それを 〈x1,x2〉 のような形に表す方法が定義されていない.

結論: 問題そのものがおかしい.