• ベストアンサー

商集合

数学の問題なんですが、下の式の意味するところがわかりません。 A={{2,3},{4,2},4,5},B={4,{2,3},{5}}について ∀x,y∈A∪B[xRy if and only if(x=y)∨(x∈A∩B∧y∈A∩B)] の関係があるとき|(A∪B)/R|は? という問題で、同値類と商集合が関係するみたいなんですが… これは手の施しようがありません わかりやすく教えて頂けたら嬉しいのですが。 ちなみに答えは5らしいです…

  • kiki28
  • お礼率71% (240/337)

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • ojisan7
  • ベストアンサー率47% (489/1029)
回答No.2

どうやら、 >A={{2,3},{4,2},4,5},B={4,{2,3},{5}} は A={{2,3},{4,2},{4,5}},B={{4},{2,3},{5}} ではないでしょうか?そうであれば、確かに、 |(A∪B)/R|=5 となりますね。考え方は、No1に書いたとおりです。しかし、問題とすれば、この問題は「つまらない問題」です。

kiki28
質問者

お礼

そうです。間違えていたのに有難う御座います そのうえ二回も書いていただいて感謝します つまらないんですか・・・ そこまではわかりませんが感情的につまらなかったです(笑) ありがとうございました

その他の回答 (1)

  • ojisan7
  • ベストアンサー率47% (489/1029)
回答No.1

>A={{2,3},{4,2},4,5},B={4,{2,3},{5}} は A={{2,3},{4,2},{4},{5}},B={{4},{2,3},{5}}ではないでしょうか? まず、関係Rが同値関係を満たすかどうか確認してください。そのあと、集合A∪Bを関係Rによって類別してください。

関連するQ&A

  • 商集合の問題です

    X1、X2を実数全体の集合とし、XをX1とX2の積集合とする。Xの任意の元x=〈x1,x2〉、y=〈y1,y2〉についてx~yをx1=y1と定めるとき、次の問いに答えよ。 (1)関係~はX上の同値関係であることを示せ。 (2)~による同値類C(〈0,0〉)はXの中のどのような部分集合となるか。 (3)商集合X/~はどのような集合とみなされるか。 *定義 関係~を集合X上の同値関係とする。Xの任意の元aに対して、aと~関係のあるXの元全体の集合をC(a)とするとき、すなわち C(a)={x∈X:x~a} とおくとき、C(a)をaを含む同値類という。 集合Xとその上の同値関係~について同値類をそれぞれ1つの元とみなす集合をXの~による商集合といい、X/~で表す。 すなわち、X/~={C(a):a∈X} とする。 ヒントだけでもお願いします。

  • 商集合

    数学の問題で 「Z(整数)に以下の同値関係Rを入れた時、この関係についての商集合の要素をすべて記述せよ mRnの定義;|m|=|n|」 という問題が出たのですが、これに対してはどのように解答することが望ましいのでしょうか? 数学が苦手で良く分からないのでよろしくお願いします。

  • 同値関係

    2次元空間上の直線集合上で、xRy x,yが平行という同値関係の商をすべて挙げる問題ですが。 商とは A/R={[a]R|a∊A}と表すがどうやって商を挙げるのですか? x,y∊A AをRで分割するから すべての平行するものを挙げればいいのですか? よくわからないので教えてください。

  • 集合

    x~yが集合S上の同値関係であるとはどういうことか。まず数学的な定義を述べ、例を血縁関係、友人関係等にとり、分かりやすく説明せよ。   a≡b(mod3)のときa~bと表す。このとき~は自然数全体の集合Nの上の同値関係であると考えることもできる。このとき、1,2と3を代表とする同値類  [1]={1,4,7、・・・}、[2]={2,5,8、・・・}と  [3]={3.6.9.・・・} はNの一つの分割になっていること。このことを示せ。

  • 集合論の問題です。

    集合論の問題です。 同値関係が分かるようになりたいので、 よろしくお願いします。 R^2の関係~を以下で定義。 (x,y), (x',y')∈R^2に対して、 x-x'∈Z and y-y'∈Z なるとき、 (x,y)~(x',y')と表す。 この同値関係による同値類すべての集合をAと表し、 (x,y)∈R^2の同値類を[x,y]とあらわす。 a,b,c,d∈Zのとき、 f( [x,y] ) = [ax+by, cx+dy] ([x,y]∈A) によってf:A→Aが well-definedに定義できることを示せ。

  • 同値類 商集合

    反射律、対称律、推移律を満たす二つの集合を同値関係と呼ぶということは分かったのですが、同値類と商集合の説明が本やネットで調べてみても、抽象的すぎてよく分かりません。 できれば中学や高校くらいの題材で同値類と商集合の例をあげていただけないでしょうか。 よろしくお願いします。

  • 集合に関する問題が分からなくて困っています

    僕は集合とかの問題が苦手なため、担当教官にいくつか基礎問題を出してもらって考えていたんですが・・・ 教官が答えをくれないので正しい答え(考え方を含む)がよく分からないんです。 問題数も多いんで重要だと指摘された4問を教えていただけるとうれしいです。 1つでもいいんでどうかよろしくお願いします。 1.任意の有限集合A、Bに対して、  集合A~B⇔AからBへの全単射が存在するとする。   このとき~は同値関係である事を示せ。  (記号~の意味はAからBへの全単射が存在するという定義らしいです。) 2. 集合A,Bに対して  A≦B⇔A⊆B   とする。  (1)≦は順序関係である事を示せ。  (2)inf{x、y}=x∩yとなることを示せ。 3. (1) 集合x、yに対して、  {{x}∪{y}}-{{y}}   どんな集合か。 問題1に関してはノートなどを見て書いてみたんですが、 反射:f(a)=a 対称:f(a)=bとするとf^-1(b)=a 推移:f(a)=b、f(b)=cとするとf(f(a))=c 教官には違うと指摘されただけで終わりました。何が違うんでしょうか? ちなみにf^-1はfの逆行列という意味です。

  • 商位相空間

    X=R^n+1-(0,0,…,0)のおいて(x0,…,xn)~(λx0,…,λxn)(λ≠0)により 関係~をX上に定義する。 (a)~が同値関係になることを示せ。 (b)商位相空間X/~をRP^nと表し、n次元実射影空間という。 RP^nがハウスドルフ空間であることを示せ。 (a)に関しては問題が曖昧な気がするのですが…。 これは (x0,…,xn)~(y0,…,yn)⇔∃λ≠0 s.t.(y0,…,yn)=(λx0,…,λxn) ということでいいのですか? (b)ですがハウスドルフ空間の定義は X上の任意の異なる二点x,y∈Xに対して二つの開集合U,Vで x∈U、y∈VかつU∩V=φとなるものが存在する。 ということですよね。 商位相空間X/~はどのような位相空間になるのでしょうか?

  • 集合の問題

    集合Aから集合Bへの写像f:A→Bが与えられているとする。 Aの2元a,bについてf(a)=f(b)のときa~bと定義すれば、 関係~が同値関係であることを示せ。 さらにfが全射であれば同値類集合A/~と集合Bは対等であることを示せ。 前半はいいのですが後半がいまいちわかりません。 以下のように示したのですがどうでしょうか? X/~={[x]|x∈X},[x]={y∈X|x~y即ちf(x)=f(y)} これよりg:A/~→B:g([x])=f(x)が全単射かつwell-definedであることを示す。 (well-defined) [x]=[x']とする。この時∀y∈Xについて y∈[x]とすればf(y)=f(x)=f(x')となるのでg([x])=g([x']) よってgはwell-defined (全射) ∀y∈Bとするとfが全射であるから∃x∈A s.t. f(x)=y これよりx∈[x]だから∃[x]∈A/~となるのでgも全射となる。 (単射) g([x])=g([y])⇒f(x)=f(y)とするとx∈[x]⇒x∈[y]がいえる。 其の逆も言えるので[x]=[y]

  • 剰余集合について

    R を実数体, t を 0 に等しくない実数とします。 このとき、多項式環 R[x, y] から3つのイデアル, A = (x^2, y^2), B = (x, y), C = (x + ty), を選びます。 剰余環 R[x, y]/A を考えるとき, A ⊆ B なので B/A は R[x, y]/A のイデアルになります。 それに対して, A ⊆ C は成り立たないため、これまで C/A というものを考えたことがありませんでした。 そこで質問なのですが, C/A を集合と見なすことは可能なのでしょうか。 無理矢理 C/A を集合と考えて調べてみると、次の 1 と 2 が成り立つことがわかりました。 1. C/A は R[x, y]/A のイデアルにならない 2. C/A は R[x, y]/A の部分集合にすらならない しかし、それだけではどうもすっきりしません。 今回の C/A のように, A ⊆ C が成り立たない場合でも, C/A を剰余集合と呼ぶのでしょうか。 f, g ∈ C に対して, f ~ g を f - g ∈ A と定義すれば、関係 ~ が同値関係になるのは理解できます。 しかし, 4Z/6Z などと同じく数学専門書で見た記憶がないため, C/A という表記そのものに対する違和感が消えません。 考えすぎなのかもしれませんが、どうしても気になるのでアドバイスをお願いできませんでしょうか。 集合論や抽象代数学の専門書で調べてみたのですが、疑問は解決しませんでした。