商位相空間

質問

X=R^n+1-(0,0,…,0)のおいて(x0,…,xn)～(λx0,…,λxn)(λ≠0)により
関係～をX上に定義する。

(a)～が同値関係になることを示せ。
(b)商位相空間X/～をRP^ｎと表し、n次元実射影空間という。
RP^ｎがハウスドルフ空間であることを示せ。

(a)に関しては問題が曖昧な気がするのですが…。
これは
(x0,…,xn)～(y0,…,yn)⇔∃λ≠0 s.t.(y0,…,yn)=(λx0,…,λxn)
ということでいいのですか？

(b)ですがハウスドルフ空間の定義は
X上の任意の異なる二点x,y∈Xに対して二つの開集合U,Vで
x∈U、y∈VかつU∩V=φとなるものが存在する。
ということですよね。
商位相空間X/～はどのような位相空間になるのでしょうか？

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

(a) 同値関係の定義を確認してください．
大抵は教科書に書いてますが
wikipediaにもたぶん出ています．
まったく曖昧ではありません．
関係「～」をこのように定義したときに
これが同値関係の定義を満たすことを示すのです．

>(x0,…,xn)～(y0,…,yn)⇔∃λ≠0 s.t.(y0,…,yn)=(λx0,…,λxn)
>ということでいいのですか？
これが関係「～」の定義です．
繰り返しますが，この「～」が同値関係であることを示すのです．

>商位相空間X/～はどのような位相空間になるのでしょうか？
多分，この問題のある近くか，その章とかに
商位相空間の定義があるはずです．
それを使ってHausdorffであることを示します．
書いちゃえば，
自然な射影p: R^{n+1}-(0,0,...,0) -> RP^nが連続となるような
最小の位相をいれる。。すなわち，RP^nの部分集合Uが開集合であるとは
p^{-1}(U)が R^{n+1}-(0,0,...,0) の開集合であることと定める
ということです．

RP^nの一点は R^{n+1}-(0,0,...,0) の「原点を通る直線」とみなせるので
RP^nの開集合は「原点を通る直線」にうすーく張り付いている
原点を頂点にした三角形のようなものです
＃たとえば，RP^1の点[0,1]の近傍の例としてはは
＃{(x,ax) | -0.5<a<-0.5, xは0ではない}を射影したものです．
絵を書いてみればすぐ分かります．
・・・ここまでわかれば，あとはすぐです．

射影空間RP^nがどのようなものかというのは
授業でやってませんか？
この空間は極めて重要，呆れるほど重要すぎるので，
ふつうはかなり気合をいれて
ここぞとばかり説明されることが多いのですが。。。

n=1の場合 RP^1：これは円周 S^1 のことです．
n=2の場合 RP^2：いわゆる射影平面です
これは普通の平面に「無限遠直線」をつけたものです
例えば，RP^2の点 [1,x,y] を R^2 と同一視し，
RP^2のそれら以外の点 [0,x,y] を直線と同一視するわけです．
＃ちょっと考えると，3枚のR^2が互いに重なりながらPR^2を
＃覆っているのもわかります．
これは，射影幾何と呼ばれる非ユークリッド幾何の土台になります
（平行線が交わるんです）．

もうちょっと図形的にみてみると・・まず，球面 S^2 を考えます．
これを真っ二つにきって半分にします．
そうすると断面に円周ができます．
この円周の一点をその反対側の点とくっつけます．
この操作を円周上の点全部（実際は半分だけ）で行うと
射影空間 RP^2 ができます．
もちろん，これは3次元空間R^3では実現できませんが，
4次元空間R^4では実現可能です
なお，RP^2は3次元空間に埋め込めない，
向き付け不可能な曲面の代表格です．
＃もっと変形すれば，
＃メビウスの帯の「ふち」に円板を貼り付けたものになったり
＃いろいろありますが，これは位相幾何の本をみてください．

n=3の場合 PR^3 ですが・・・証明はちょっと厄介ですが，
実は3次の特殊直交行列の集合 SO(3) と同じになります．
SO(3)ってのは3次の直交行列（A^{-1}=A^T）のうち
行列式が1のものの集合です
このあたりから，直観的な図示は不可能ですね．

これ以上になると・・射影空間で書くのがいいのか
別の表現がいいのか，どっちもどっちのものになりますが
いろいろな表現が知られています．

お礼

ありがとうございました。
問題文があやふやというか関係～の定義がわかりませんでした。

同値関係であることの証明は反射律、対称律、推移律を示すことですから、
反射律
(x0,…,xn)～(x0,…,xn)⇔∃λ≠0 s.t.(x0,…,xn)=(λx0,…,λxn)
これはλ=1とすれば良い。

対称律
(x0,…,xn)～(y0,…,yn)⇒(y0,…,yn)～(x0,…,xn)
λ≠0よりλ=1/λと取ればよい。

推移率
(x0,…,xn)～(y0,…,yn)、(y0,…,yn)～(z0,…,zn)
⇒(x0,…,xn)～(z0,…,zn)
(x0,…,xn)～(y0,…,yn)より
∃λ1≠0 s.t.(y0,…,yn)=(λ1x0,…,λ1xn)
(y0,…,yn)～(z0,…,zn)より
∃λ2≠0 s.t.(z0,…,zn)=(λ2y0,…,λ2yn)

これより
(z0,…,zn)=(λ1λ2x0,…,λ1λ2xn)　(λ1λ2≠0)

よって関係「～」は同値関係である。

これでどうでしょうか？

回答No.2

ojisan7

ここでのポイントは射影空間にどのような位相を入れるのかということですね。考え方については既にNo1さんが丁寧に説明されている通りです。また、教科書にも射影空間の位相についの説明があると思いますので、よく読んで、考えて下さい。証明方法はいろいろあると思いますが、ご自分で考えた証明がベストです。

ところで、射影空間はどうして「射影」という言葉が使われているのでしょうか。射影というのは、例えば、直積空間Ｖ×Ｗに対して、PV:V×W→VでPV(x,y)=xとなる写像のことですよね。Xから商空間X/～への標準的な写像が「射影」になっていることが分かるでしょうか。これが分かれば射影空間の位相は自然に導かれます。関係～の同値類の代表元をノルム１にして考えてみて下さい。