剰余集合について

質問

R を実数体, t を 0 に等しくない実数とします。
このとき、多項式環 R[x, y] から3つのイデアル,
A = (x^2, y^2), B = (x, y), C = (x + ty), を選びます。
剰余環 R[x, y]／A を考えるとき, A ⊆ B なので B／A は R[x, y]／A のイデアルになります。
それに対して, A ⊆ C は成り立たないため、これまで C／A というものを考えたことがありませんでした。

そこで質問なのですが, C／A を集合と見なすことは可能なのでしょうか。
無理矢理 C／A を集合と考えて調べてみると、次の 1 と 2 が成り立つことがわかりました。
1. C／A は R[x, y]／A のイデアルにならない
2. C／A は R[x, y]／A の部分集合にすらならない

しかし、それだけではどうもすっきりしません。
今回の C／A のように, A ⊆ C が成り立たない場合でも, C／A を剰余集合と呼ぶのでしょうか。
f, g ∈ C に対して, f ～ g を f - g ∈ A と定義すれば、関係 ～ が同値関係になるのは理解できます。
しかし, 4Z／6Z などと同じく数学専門書で見た記憶がないため, C／A という表記そのものに対する違和感が消えません。
考えすぎなのかもしれませんが、どうしても気になるのでアドバイスをお願いできませんでしょうか。
集合論や抽象代数学の専門書で調べてみたのですが、疑問は解決しませんでした。

回答No.3

koko_u_u · ベストアンサー

もっとも単純なのは、商写像 ι: R[x, y] -> R[x, y]／A による C の像 ι(C) ⊆ R[x, y]／A を考えることですかね。

お礼

なるほど。
商写像は有力ですね。

A ⊆ B なので, ι(B) = B／A は R[x, y]／A のイデアルになる。
A ⊆ C は成り立たず, ι(C) ≠ C／A であり, C／A は R[x, y]／A のイデアルでない。
その一方, ι(C) = (A + C)／A は R[x, y]／A のイデアルなので重要。

ι(C) を考えることで、以前質問した問題の疑問点もほとんど解決しました。
ちょっと事情があって、その質問は現在は削除されていますが、いただいたヒントを参考にして完全解決は時間の問題です。
最高のヒントをくださって、どうもありがとうございました！

あっと、お礼が遅くなってしまって申し訳ありませんでした。

回答No.2

koko_u_u

> そして, C／A = { [f] | f ∈ C } と定義することで, C／A を集合と考えました。

なるほど、しかし C／A にも何らかの代数的構造が欲しいですね。

お礼

もしかしたら、勘違いしていたかもしれません。
はっきり確認していませんが, [f] [g] = [fg] は well-defined になるかもしれないです。
そうなると、乗法の単位元を持たない可換環という可能性まであるのでしょうか。
なんだかかなり混乱してきて、考えがまとまりません。
しかし、仮にそうだとしても, C／A が R[x, y]／A の部分集合にならないので意味ないですね。
ただ、最初の疑問である「C／A を集合と見なすことは可能か？」という点に関しては、どうやら集合と見なしていいと現在は考えています。

補足

[f], [g] ∈ C／A とすると、
[f] + [g] = [f + g] は well-defined になりますね。
でも、[f] [g] = [fg] は well-defined にならないようです。

よって、C／A は加法群と見なすのが精一杯でしょうか。

回答No.1

koko_u_u

> 無理矢理 C／A を集合と考えて調べてみると、

どのように「無理矢理」考えたのかわからないので、コメント不能です。
R[x, y]／A の部分集合ですらない C／A とは果たして？

お礼

命題： [f] ∈ C／A ならば [f] ∈ R[x, y]／A が偽なので、C／A が R[x, y]／A の部分集合でないことは明らかですよね。
回答してくださって、ありがとうございました。

補足

質問文の後半に書いたのですが, f, g ∈ C に対して, f ～ g を f - g ∈ A と定義すれば、関係 ～ は一応同値関係になると思います。
そこで, [f] = { g ∈ C | f ～ g } とおきました。
そして, C／A = { [f] | f ∈ C } と定義することで, C／A を集合と考えました。