環の準同型と剰余環について

質問

Zを整数環、AとBを可換環、Hom(A,B)をAからBへの環の準同型写像の全体の集合とします。
A ～＝ BをAとBが同型だという記号とします。

質問１
f(x,y)∈Z[x,y]とするとき、I=(ｆ（x,y）)はZ[x,y]のイデアルです。
ある本に、
Hom(Z[x]/(F) , A)　～＝　{a∈A | f(a)=0} (F∈Z[x])
とあるのですが、多変数については「同じことが成立する」としか書いていません。
これの類推は、
Hom(Z[x,y]/I , A) ～＝ {a , b ∈A |f(a,b)=0}
でよいでしょうか？間違いなら、なにが同型でしょうか？（できれば証明付きで）

質問２
g(x),h(x),a(x)∈Z[x]とします。Z[x]のイデアル
J=（g(x) , h(x)）=g(x)Z[x] + h(x)Z[x]
について、剰余環Z[x]/Jの元はとして、
a(x)+J、つまりa(x)+g(x)Z[x] + h(x)Z[x]
乗法の単位元は
1+J
加法の単位元は
0+J = J
であってるのでしょうか？

特に質問１はネットで調べてもあまり出てきません。調べ方のコツか何かありましたら、あわせてご教授願います。

回答No.2

alice_44

質問１
1 変数版のとき、基礎環は Z でなくても、
任意の可換整域で同様に成り立ちます。
Z[x,y] は (Z[x])[y] なので、
ただちに、貴方の推測どおり。

質問２
それは、Z[x] の単位元気が 1、零元が 0
であることを確認しているのかな？
質問するまでもないように思うけど…

回答No.1

sunflower-san

(1) 質問1について

okdtyさんの類推で正しいです。

φ∈Hom(Z[x1, x2, .., xk]/I , A)
←(1:1)→
全てのf∈I について f(a1, a2, .., ak)=0 を満たすような組(a1, a2, .., ak)=(φ(x1), φ(x2), .., φ(xk) )

という対応です。(a1, a2, .., ak)についての I の関係式による束縛条件はφが(乗法の単位元を保つ)準同型であることからただちに従います。この対応の両辺は環、アーベル群などの代数構造を持たないことに注意してください。左辺は(A上の)アフィン代数多様体です。

(2) 質問2について

全てあっています。
一つコメントするなら、
Z[x]は単項イデアル整域ですから、あるj(x)∈Z[x]があって(g(x) , h(x))=(j(x))と書けてしまいます。
具体的に j(x)を計算するにはg(x) , h(x)からユークリッドの互除法で最大公約多項式を求めればよいわけです。

以上、ご参考になればと思います。

補足

回答に対する質問です。
(1)
全てのf∈I とはどういうことですか？g(x,y)∈Z[x,y]のときイデアルI=(g(x,y))=g(x,y)Z[x,y]だから、あるh(x,y)∈Z[x,y]を用いてf=g・hとかけるはずです。任意のfで成り立つならhはZ[x,y]すべてを渡って成立するということですか？
また、φはx1,…,xkのk変数ではないのでしょうか？φ(xi)がよくわからないのですが…

(2)
回答ありがとうございます。ところで、Z[x]は単項イデアル整域(PID)でしょうか？kが体ならk[x]はユーグリッド整域なのでPIDでしょうが、Z[x]のイデアル(2,x)は単項イデアルになりえないのでZ[x]はPIDでないはずですが…

以上をお願いします。