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環の準同型写像
Kを体，K[X,Y]をK上の2変数多項式環とし、a,b∈Kとする。環の準同型写像φ:K[X,Y]→K をf(X,Y)∈K[X,Y]にf(a,b)∈Kを対応させる写像として定めるとき、(Xにa，Y にbを代入する 写像) Ker(φ) = (X －a,Y －b) (:= {g(X,Y )(X － a) + h(X,Y )(Y － b) | g(X,Y ),h(X,Y ) ∈ K[X,Y ]}) が成り立つのは何故でしょうか。 見にくくて申し訳ないです＜(_ _)＞
- rsyfivo3587
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- tmppassenger
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R = K[X,Y]、Rのイデアル I = (X-a, Y-b) = (X-a)R + (Y-b)R と書くことにする。 先ず、f∈Iなら、f(X,Y) = g(X,Y) (X-a) + h(X,Y)(Y-b)と書け、これにX=a, Y=bを代入すれば、明らかに0になるから、f∈ker φ。つまりI⊆ker f。 逆にf∈ker φを取る。https://okwave.jp/qa/q9826539.html と同じく、 初めにfを「Xの多項式とみて」X-aで割って、あまりをY-bで割ることにより、 f(X,Y) = (X-a)g(X,Y) + (Y-b)h(Y)+cとなる、g(X,Y)∈K[X,Y], h(Y)∈K[Y]⊆K[X,Y], c∈Kがある。c≠0ならf(a,b)=c≠0であるゆえ f∉ker φとなってしまうから、c=0。よって、f(X,Y) = (X-a)g(X,Y) + (Y-b)h(Y)∈I。従ってkerφ⊆Iである
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