- 締切済み
代数(環論)の問題です。 分かる方お願い致します
A=Z[X]をXを不定元(変数)とする一変数多項式、Bを任意の可換環であるとする。 (1) Zの元1をBの単位元1に対応させることによって、環の準同型写像Z→Bが定まることを示せ。 (2) Bから任意に元bを選ぶ、このときA∋Xをbへ移す準同型写像f:A[X]→Bがただ一つ存在することを示せ。このことにより、「A=Z[X]からBへの準同型写像全体のなす集合」をHom(A,B)と表すと、集合としての一対一対応 Hom(Z[X],B)≅B が成り立つことを示せ。 (3) F∈Z[X]が生成するイデアル(F)⊂Z[X]について剰余環Z[X]/(F)を考える。準同型写像f:Z[X]/(F)→Bと、 剰余に関する標準全射π:Z[X]→Z[X]/(F)を合成することにより、対応f∘π:Z[X]→Bが得られる。「Z[X]/FからBへの準同型写像全体のなす集合」をHom(Z[X]/(F),B)と表す時、上に述べた対応f→f∘πにより、Hom(Z[X]/(F),B)は、Hom(Z[X],B)の部分集合になること示せ。 (4) 小問(3)の包含関係Hom(Z[X]/(F),B)⊂Hom(Z[X],B)と、小問い(2)で与えた集合としての一対一対応関係Hom(Z[X],B)≅Bから、 Hom(Z[X]/(F),B)≅{b∈B|F(b)=0} なる一対一対応ができることを示せ。 (5) 次の集合の元の個数をそれぞれ求めよ。 Hom(Z[X]/(X^4-2),Q),Hom(Z[X]/(X^4-2),R),Hom(Z[X]/(x^4-2),C)
- ケイジ(@keiji399)
- お礼率100% (2/2)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数3
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
みんなの回答
- muturajcp
- ベストアンサー率78% (505/644)
(1) f(1)=1 0=f(1-1)=f(1)+f(-1)=1+f(-1) f(-1)=-1 あるk∈Zについてf(k)=kが成り立つとすると f(k+1)=f(k)+f(1)=k+1 f(k-1)=f(k)+f(-1)=k-1 ∴∀n∈Z→f(n)=n (2) b∈B f:A→B,F∈A→f(F)=F(b) とすると f(X)=b となる。 {F,G}⊂A とすると f(F+G)=(F+G)(b)=F(b)+G(b)=f(F)+f(G) f(FG)=(FG)(b)=F(b)G(b)=f(F)f(G) だから fは準同型となる g(X)=bとなるg準同型とすると g(F)=F(g(X))=F(b)=f(F) g=f となりfがf(X)=bとなるただ1つの準同型となる h:Hom(A,B)→B,h(f)=f(X)とすると 任意のb∈Bに対して,h(f)=f(X)=bとなる準同型fがただ1つ存在するから hは全単射となるから Hom(A,B)~B (3) h:Hom(A/(F),B)→Hom(A,B),h(f)=f○πとすると h(f)=h(g)→f○π=g○π→f=gだからhは単射だから Hom(A/(F),B)はHom(A,B)の部分集合と同型となる (4) π:A→A/(F) f∈Hom(A/(F),B) とすると F((f○π)(X))=(f○π)(F)=0 だから (f○π)(X)∈{b∈B|F(b)=0} だから h:Hom(A/(F),B)→{b∈B|F(b)=0},h(f)=(f○π)(X)とhを定義できて b∈{b∈B|F(b)=0}→g(X)=bとなるただ1つの準同型gが存在して g(F)=F(b)=0となるから g=f○πとなる準同型fがただ1つ存在するから hは全単射 Hom(A/(F),B)~{b∈B|F(b)=0} (5) Q=(全有理数),R=(全実数),C=(全複素数) とすると |Hom(A/(X^4-2),Q)|=|{b∈Q|b^4-2=0}|=|φ|=0 |Hom(A/(X^4-2),R)|=|{b∈R|b^4-2=0}|=|{±2^{1/4}}|=2 |Hom(A/(X^4-2),C)|=|{b∈C|b^4-2=0}|=|{±2^{1/4},±2^{1/4}i}|=4
- koko_u_u
- ベストアンサー率18% (216/1139)
いつもの回答ですが、どこがわからないのかを詳しく補足にどうぞ。 例えば(1)すらわからない、という場合は質問する前に教科書を読み直したほうがいいです。
お礼
koko_u_u様 アドバイスありがとうございます。 どうも教科書にも詳しく載ってないもので、他の文献も漁ってみます。
関連するQ&A
- 環の準同型と剰余環について
Zを整数環、AとBを可換環、Hom(A,B)をAからBへの環の準同型写像の全体の集合とします。 A ~= BをAとBが同型だという記号とします。 質問1 f(x,y)∈Z[x,y]とするとき、I=(f(x,y))はZ[x,y]のイデアルです。 ある本に、 Hom(Z[x]/(F) , A) ~= {a∈A | f(a)=0} (F∈Z[x]) とあるのですが、多変数については「同じことが成立する」としか書いていません。 これの類推は、 Hom(Z[x,y]/I , A) ~= {a , b ∈A |f(a,b)=0} でよいでしょうか?間違いなら、なにが同型でしょうか?(できれば証明付きで) 質問2 g(x),h(x),a(x)∈Z[x]とします。Z[x]のイデアル J=(g(x) , h(x))=g(x)Z[x] + h(x)Z[x] について、剰余環Z[x]/Jの元はとして、 a(x)+J、つまりa(x)+g(x)Z[x] + h(x)Z[x] 乗法の単位元は 1+J 加法の単位元は 0+J = J であってるのでしょうか? 特に質問1はネットで調べてもあまり出てきません。調べ方のコツか何かありましたら、あわせてご教授願います。
- 締切済み
- 数学・算数
- 代数学の問題なんですが…
(1)Q[x]において{f(x)∈Q[x] | f(√2)=0}はイデアルか? (2)2は{a+b√-5 | a,b∈Z}において規約元か? (3)可換環Z/12Zのイデアルとその包含関係を書け (4)Q(√2)(={a+b√2 | a,b∈Q})からそれ自身への環準同型をすべて書け。 (5)Rを環、IをRの両側イデアルとする。 R/Iの元a+Iとb+Iの和をa+b+I、積をab+Iとするとこの和と積は 代表元a,bの取り方に依存しないこと(即ちWell-defind)であることを示せ 代数学がちょっと苦手なので簡単な問題かもしれませんが どうかご指南おねがいしますm(_ _)m
- 締切済み
- 数学・算数
- 同型写像に関する問題
問題を解いていて A→Bが環の同型写像であるとき、その既約剰余群 (A)^* → (B)^* が群の同型写像になるってことを証明しないといけないらしいんですが、そのままいえないんですか? どうやって証明すれば良いんですか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 大学の数学(代数)の問題です。
問)群G1からG2への写像f:G1→G2は群準同型写像であるか。群準同型写像であるならばfの像Imf及び核Kerfを求め、群準同型写像でなければその理由を述べよ。(Snをn次対称群、Zは整数全体のなす集合あるいは加法群) (1)G1=S5、G2=Z;f(σ)=l(σ)(σ∈S5)。ここに、l(σ)はσを互いに素な巡回置換の積で表した時に現れる、長さの最も大きい巡回置換の長さ。 (2)G1=Z/9Z、G2=Z/3Z;f(x+9Z)=2x+3Z(x∈Z) です。誰かわかる方解答よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 代数の問題です。
大学の代数でこのような問題がでて きて、わからないので教えてくださ い 。よろしくお願いします。加法群G=Zの部分群H=nZ(n≧1は 自然数)に関する剰余類aHをa+nZと加 法的に表す。 また、a,b∈Zに対し、a-bがnの倍数 のときa≡b(mod n)と表し、aとbはn を法として合同であるという。 これは、a+nZ=b+nZと同値である。 剰余類の集合G/H=Z/nZをZnと表す。 Cn:位数nの巡回群={e,a,a^2,…a^n-1}a ^n=eとする (1)a≡a′(mod n),b≡b′(mod n)な らば、a+b≡a′+b′(mod n)を示せ 。 これより剰余類の集合Znに(a+Z)+(b+Z )=a+b+Zによって 積(この場合は和)が定義されることを 示し、 Znに群の構造が入ることを示せ。(Zn をnによる剰余類群という。) (2)剰余類群Znは巡回群Cnと同型であ ることを示せ
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 代数の問題です。
加法群G=Zの部分群H=nZ(n≧1は 自然数)に関する剰余類aHをa+nZと加 法的に表す。 また、a,b∈Zに対し、a-bがnの倍数 のときa≡b(mod n)と表し、aとbはn を法として合同であるという。 これは、a+nZ=b+nZと同値である。 剰余類の集合G/H=Z/nZをZnと表す。 Cn:位数nの巡回群={e,a,a^2,…a^n-1}a ^n=eとする (1)a≡a′(mod n),b≡b′(mod n)な らば、a+b≡a′+b′(mod n)を示せ 。 これより剰余類の集合Znに(a+Z)+(b+Z )=a+b+Zによって 積(この場合は和)が定義されることを 示し、 Znに群の構造が入ることを示せ。(Zn をnによる剰余類群という。) (2)剰余類群Znは巡回群Cnと同型であ ることを示せ
- 締切済み
- 数学・算数
- 代数学(環論)の問題で困っています。
代数学(環論)の問題で困っています。 以下の素イデアルを全て求めよ。 (1) R (2) R[x] (3) Z[x] (4) C[x] 例えば、Rの素イデアルの一例として、 教科書に載っているような Rの部分環Z[√10]のイデアルP=(2,√10)などが 素イデアルであることは分かるのですが、 Rの素イデアル全ての集合といわれるとつまってしまいます。 上の他の環についても同様です。 漠然とした疑問ですいませんが、 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
muturajcp様 ご回答ありがとうございました。 心より感謝申し上げます!