代数学の質問です。

質問

この問題を詳しい解説付きで解いてもらいたいです。（１つだけでもかまいませんのでよろしく御願いします）
１．Rを環とする。f,gを環準同型写像Q→Rとする。f=gを示せ。

２．Z[X]はPIDか？

３．整域の標数は０または素数であることを示せ。

４．Ｆ５[X]∋X3乗＋X+1は既約元であることを示せ。

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

補足質問「問題３で、なぜ整域であることに反するのかが分かりません」

⇒　整域とは、0以外に零因子を持たない環のことです。m≠0、n≠0、mn＝0 なら、mとnが0でない零因子になります。

お礼

本当に助かりました！ありがとうございました！！！

回答No.1

ramayana

問題１

（１） Qの説明がありません。有理数体と解釈することにします。

（２）　Rには、単位元の存在も可換性も仮定しないことにしますが、最低限、次の仮定を置く必要があります。

　　「f(1)とg(1)は、どちらも零因子でない」

そうでなければ、次のような反例があります：RをQとQの直和として、f(x)=(x,0)、g(x) = (0,x)

（３）　証明

[1] f(1) = g(1)であること

(f(1) –f(1) g(1)) g(1)=f(1)g(1) - f(1)g(1・1) = f(1)g(1) – f(1)g(1) = 0
g(1)が零因子でないので、f(1) = f(1)g(1)

f(1)(g(1) –f(1) g(1))=f(1)g(1) - f(1・1)g(1) = f(1)g(1) – f(1)g(1) = 0
f(1)が零因子でないので、g(1) = f(1)g(1)

以上により、f(1) = g(1)

[2]　Qは、1によって生成される体なので、[1]により、f(x) = g(x) （xはQの任意の元）を得る。

問題２

Z[X]はPIDでない。{2,X}で生成されるイデアルは、単項イデアルでない。

問題３

標数をmnとすると、m≠0、n≠0、mn＝0 となって、整域であることに反する。

問題４

g(X) = X^3+X+1が因数分解できたとすると、一次式の因子を含む必要がある。よって、g(X)は、F5内に根を持たねばならない。

一方、g(X)のXに0,1,2,3,4のどれを代入しても0にならない。

以上により、g(X)は既約

お礼

ものすごい分かりやすい回答でした！

補足

問題３で、なぜ整域であることに反するのかが分かりません。