既約について（代数学）

質問

代数学の問題なのですが、

f(x)=x^3+ax+1(a≧1)とする。
f(x)∈Ｚ[x]はＱ（有理数）上で既約である事を示せ。

なんですが、これはf(x)がＺ（整数）上で既約であることを示せばいいのですか？それとも直接Ｑ（有理数）上で既約であることを示せばいいのでしょうか？できれば、解き方を教えてください。お願いしますm(__)m

回答No.1

nubou · ベストアンサー

勿論問題にある通りQ上での規約です
ｆ（ｘ）は３次方程式なので規約でないとすると有理数係数の１次式がｆ（ｘ）の因子に成るはずです
すなわちｆ（ｘ）は有理数を根に持つはずです
これが矛盾することを示せばいいのです

お礼

ありがとうございましたm(__)m参考になりました。

回答No.3

nubou

仮にa=26/9と置くと：

ｆ（ｘ）∈Z［ｘ］ということはｆ（ｘ）の係数がすべて整数であるということです
従ってａは自然数でありａ＝２６／９とすることはできません

回答No.2

springside

全く外しているかもしれませんが．．．

仮にa=26/9と置くと、
　f(x)=x^3+(26/9)x+1
となりますが、f(x)=0という３次方程式は、x=-1/3という解を持つので、f(x)=(x+1/3)(x^2-(1/3)x+3)という風に割り切れてしまいますが．．．

書かれた問題が違っているような気がしますが、勘違いだったらごめんなさい。

お礼

ご意見ありがとうございましたm(__)m