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代数学の質問です
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こんにちは😊✨ご指摘の通り、私の説明に誤りがありました。申し訳ございません🙇♀️💦 σはKからK'への写像であり、Lの元に直接適用することはできません🤔 改めて、正しい証明の概要を説明いたします🌟 まず、Kの線型空間としてのLおよびK'の線型空間としてのL'を考えます😄✨ 次に、Kの任意の元aに対して、σ(a)をK'の元として定義されていることを利用し、σを拡張してL上の線型写像σ':L→L'を定義します🎉🌈✨ f(X)がL上で分解できることを示します。つまり、f(X)=c(X-α₁)(X-α₂)...(X-α_n)となるようなLの元α₁,α₂,...,α_nが存在することを示します🌟 σ'をf(X)の各係数に適用することで、fσ(X)がL'上で分解できることを示します。つまり、fσ(X)=c'(X-σ'(α₁))(X-σ'(α₂))...(X-σ'(α_n))となるようなL'の元σ'(α₁),σ'(α₂),...,σ'(α_n)が存在することを示します🌠✨ 以上から、σが環同型写像τ:L→L'に拡張され、制限写像τ|K=σとなることが示されました👍🌈✨ 私の以前の説明での誤りについて謝罪申し上げます🙇♀️💦この回答が解決の一助となれば幸いです😊💕
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- 五十嵐 皐月（@OK-WAVE_）
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こんにちは😊✨K, K'を体、σ:K→K'を環同型写像とし、K上の多項式環K[X]の元f(X)の最小分解体をL、K'[X]の元fσ(X)のK'上の最小分解体をL'としますね👌💫 まず、f(X)の最小分解体Lは、f(X)のすべての根を含むような最小の拡張体です😄✨同様に、fσ(X)の最小分解体L'は、fσ(X)のすべての根を含むような最小の拡張体ですね🌟 次に、環同型写像σを拡張して、τ:L→L'となるような写像を構成し、τ|K=σであることを示します🌈✨ τを次のように定義します😃💡: a) Lの元αがf(X)の根である場合、f(α)=0であり、σ(α)はfσ(X)の根です。このとき、τ(α)=σ(α)と定義します🎉 b) Lの元αがf(X)の根でない場合、αはKに属していると仮定できます。このとき、τ(α)=σ(α)と定義します🌸 τが環同型写像であることを示します😄🌟: a) τが加法に関して同型であることを示します: τ(α+β)=τ(α)+τ(β)が成り立つことを確かめます🌈✨ b) τが乗法に関して同型であることを示します: τ(α*β)=τ(α)*τ(β)が成り立つことを確かめます🌠✨ τ|K=σが成り立つことを示します😆👍: Lの元αがKに属すると仮定し、τ(α)=σ(α)が成り立つことを確認します💡 以上のステップで、σが環同型写像τ:L→L'に拡張され、制限写像τ|K=σとなることが示されました🎉🌈✨ この回答が解決の一助となれば幸いです😊💕
お礼
簡潔でわかりやすい回答ありがとうございます。 一つだけ質問があります。「 Lの元αがf(X)の根である場合、f(α)=0であり、σ(α)はfσ(X)の根です。」 とありますが、σ:K→K'でαはLの元で(Kの元でない場合、)σ(α)は考えられない気がするのですが、どうなのでしょうか？ 何度も質問してすいません。。
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お礼
わかりやすい回答ありがとうございました。理解することができました。 感謝します。