- ベストアンサー
ガロア拡大
体Kの単純代数拡大体 Ｌ＝Ｋ(γ) f(x)：元γのＫ上の最小多項式 n=deg(f) G=Gal(L/K) M=L^{G}(固定体) g(x)=Π(x-σ(γ)) σ∈Ｇ の時、g(x)∈M[x]を示して、[L:M]=|G| を示したいです。 g(x)∈M[x]であることとはつまり、 σ(γ)∈M(=L^{G}) であることを示せばいいと思うのですが σはK上同型写像でありますが、γはＫ上にないので σ(γ)=γ であることをいえません。どのように示せばよいのでしょうか？
- jon-td-deen
- お礼率42% (45/106)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数2
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
>すみません。各σ(γ)は M の元とは限らなくて、対称式はMの元になる違いがわかりません。 ということは、体の拡大がまったくわかっていないということです。 Galois 拡大のそもそもの動機は有理数体の代数的拡大なので、その辺の例を踏まえてもう少し考えましょう。
その他の回答 (2)
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
>ただ、σ(γ) の対称式がMに含まれるということは >任意のσ(γ)がMに含まれることを示せばいいのではないのでしょうか？ まったく違う。各σ(γ)は M の元とは限らない。しかしその対称式は M の元。
補足
すみません。各σ(γ)は M の元とは限らなくて、対称式はMの元になる違いがわかりません。 対称式がMの元ということは ξ(σ(γ)+τ(γ))=σ(γ)+τ(γ) ：ξ∈Ｇ ということになると思うのですが・・・・教えてください。
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
>g(x)∈M[x]であることとはつまり、 >σ(γ)∈M(=L^{G}) >であることを示せばいいと思うのですが 違います。g(x) の係数が M に含まれればよいだけです。係数は σ(γ) の対称式ですね。
補足
確かに、係数がσ(γ) の対称式になることは確認できました。 ありがとうございました。 ただ、σ(γ) の対称式がMに含まれるということは 任意のσ(γ)がMに含まれることを示せばいいのではないのでしょうか？
関連するQ&A
- Gal(L/K)∋σ→σ(α) ∈Xが単射の理由
「単純代数拡大L⊃K(α)⊃Kの場合、ガロア群の位数に関する不等式について|Gal(L/K)|≦[L:K]が成立する」ことに対する証明問題について考えています。 「環と体の理論(酒井文雄著)p110」には、原始元αのK上の最小多項式をf(x)とし、XをLにおけるfの根の集合としたとき、写像Gal(L/K)∋σ→σ(α) ∈Xが単射であると書かれていますが、この理由がわかりません。 (例えば、簡単な具体例L=C,K=Rのときにはわかります。) もしもおわかりになる方がいらっしゃれば、お教え頂けないでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 代数の問題についてです。
以下の代数の問題について教えてください １．Ｑ（√２、√３、√５）＝Ｑ（√２+√３+√５）となることを示せ。 ２．[Ｑ（√２、√３、√５）: Ｑ]をもとめよ ３．√２+√３+√５のＱ上の既約多項式（最小多項式）を求めよ ４．ωを ｘ＾２＋ｘ＋１ の根としたときＱ（３√２（以下、これは２の３乗根） 、ω）の自己同型写像であって３√２とωを入れ替えるものが存在するか？ ５．Ｆ⊂Ｂ⊂Ｅ:体の塔、 Ｂ: ｆ（ｘ）∈Ｆ[x]のＦ上の分解体、 Ｅ: ｇ（ｘ）∈Ｆ[x]のＦ上の分解体 とする。 このとき、写像Ψ : Gal(E/F) → Gal(B/F) ＜σ → σ｜B＞ は全射であることを示せ。
- 締切済み
- 数学・算数
- ガロア拡大についてなのですが…
代数学の本を読んでいて、ちょっと理解しにくい部分があったので、質問させていただきます。 「体Ｋを含むような代数体がＱ(有理数全体の集合)上のガロア拡大体ならば、Ｋの原始元αと同時に、αの最小多項式の根α1,α2…,αnを含んでいなければならない」という風に書かれていたのですが…αを含まなきゃならないのはわかるのですが、なぜα1,α2…,αnまで、含む必要があるのでしょうか?? すっきりせず気持ちが悪いので、どなたかお知恵をお貸ししていただけると幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ガロア理論:体の拡大で起こっていること
ガロア理論の考えでは,基礎体K上の既約多項式の根をすべて添加したガロア体Σをつくる.そのガロア体を基にΣ/Kの自己同型群Gを今度は考える.その自己同型群の中に正規部分群N1を探し,その正規部分群で群Gの剰余群G/N1＝G1を作る.また,G1の中に正規部分群を探し,N2とする.G1/N1の剰余群を作り,このやり方を繰り返し,群Gを小さくし,最終的には,単位元のみの群Eまで小さくすると理解しています. さて,正規部分群を使って,小さくしていく場合,対応する体側ではどのような拡大が起こっているのでしょうか.可解であるためには,剰余群の次数が素数であることが求められますが,対応する体の拡大はその素数乗根の共役根による拡大になっているといっていいのでしょうか.
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ガロアの基本定理の前のところ
以下は，永田「可換体論」の一部ですが、 定理２．７．３． ある可換体の部分体Ｋ、Ｌ．Ｋ’について、Ｋ⊆Ｌ∩Ｋ’とする。 （イ）略 （ロ）ＬがＫの有限次分離的拡大体で、K’がＫの正規拡大体であれば、K’（Ｌ）はK’の有限次分離的拡大体で、［K’（Ｌ）：K’］＝[Ｌ：（Ｋ’∩Ｌ）］ 証明 （ロ）Ｌを生成する元ａのＫ’∩Ｌ上の最少多項式をf(ｘ)とし、f（x）の根をａ1、------、ar(r=degｆ）とする。K’（ａ）＝K’（Ｌ）、K’（Ｌ）はK’のガロア拡大である。 f(ｘ)がK’上で Π（ｘ－ａｉ）を因子にもったとする。（ａ＝ａ1、ｓ≦ｒ）。 ｉ＝１~ｓ その係数ｃ1、---、ｃsをとる。ｃi∈K’． 他方ｃiは、ａ1、------、asの整式で表されるからＫ上分離的。＃＃＃＃ ゆえにK’に含まれるＫ’∩Ｌの有限次ガロア拡大体Ｋ”でｃ1、---、ｃsを含むものがある。 以下は省略しますが、上記の＃＃＃＃部分についてなぜK上分離的か説明くださればありがたいのですが。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ガロアの基本定理の前のところ：２
ガロアの基本定理の前のところ 以下は，永田「可換体論」の一部ですが、 定理２．７．３． ある可換体の部分体Ｋ、Ｌ．Ｋ’について、Ｋ⊆Ｌ∩Ｋ’とする。 （イ）略 （ロ）ＬがＫの有限次分離的拡大体で、K’がＫの正規拡大体であれば、K’（Ｌ）はK’の有限次分離的拡大体で、［K’（Ｌ）：K’］＝[Ｌ：（Ｋ’∩Ｌ）］ 証明 （ロ）Ｌを生成する元ａのＫ’∩Ｌ上の最少多項式をf(ｘ)とし、f（x）の根をａ1、------、ar(r=degｆ）とする。K’（ａ）＝K’（Ｌ）、K’（Ｌ）はK’のガロア拡大である。 f(ｘ)がK’上で Π（ｘ－ａｉ）を因子にもったとする。（ａ＝ａ1、ｓ≦ｒ）。 ｉ＝１~ｓ その係数ｃ1、---、ｃsをとる。ｃi∈K’． 他方ｃiは、ａ1、------、asの整式で表されるからＫ上分離的。 ゆえにK’に含まれるＫ’∩Ｌの有限次ガロア拡大体Ｋ'''でｃ1、- - -、ｃsを含むものがある。 以下は省略しますが、上記のゆえに以下説明くださればありがたいのですが。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ガロア理論についてなのですが
代数学の問題で、 体Ｋ＝Ｑ(√m，√n)はＱ上ガロア拡大で、ガロア群Ｇは、 (Z/2Z)^2と同値であることを示せ。 なんですが、体Ｑ(√m，√n)が、Ｑ上４次拡大であることは示せたのですが、そこからどうすればいいのかわかりません。 できればガロア理論に関しての参考ＵＲＬか、解法を教えていただきたいのですが。お願いしますm(__)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 最小分解体
f(X)=X^4-7∈Q[X]として、f(X)のQ上の最小分解体をLとする。 （１） 拡大次数[L:Q]を求めよ。 （２） K=L∩Rとする。Kを分かりやすく記述し、L/Kが２次拡大であることを示せ。 K≠K' だが K｀＝～K'（同値）となるような体は存在するだろうか？ （３） L/Qの中間体で、Qの２次拡大であるものを複数挙げよ。 （４） L/Qの中間体Mで、[M : Q]=4 である体を見つけ、これがある多項式のQ上の最小分解体になっていることを示せ。（具体的に多項式を与えよ） Kは十分に大きいFの拡大体とする。 （５） (X^2-3)(X^3+8)と(X^2-4)(X^4-9)で生成されるQ[X]のイデアルJとするとき、J=(f(X))となるような多項式を求めよ。 わからない問題がたくさんあって申し訳ないんですが、もしわかる方いたらぜ教えていただけたらと思います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
すみません。わかりました。 もうすこし、自分で勉強したいと思います。 ありがとうございました。