ガロア理論についてなのですが

質問

代数学の問題で、

体Ｋ＝Ｑ(√m，√n)はＱ上ガロア拡大で、ガロア群Ｇは、
(Z/2Z)^2と同値であることを示せ。

なんですが、体Ｑ(√m，√n)が、Ｑ上４次拡大であることは示せたのですが、そこからどうすればいいのかわかりません。
できればガロア理論に関しての参考ＵＲＬか、解法を教えていただきたいのですが。お願いしますm(__)m

回答No.2

nakaizu · ベストアンサー

Q(√m,√n)の意味もわからずに回答を考えていたのですか?信じ難いことです。教科書をよく読んで下さい。
Q(k)は有理数と数kから加減乗除によってできる全ての数を集めて作った体です。Qにkを添加した体といいます。
kが二次無理数ならQ(√m)=a+b√m (a,bは有理数)となります。
またk=2^(1/3) (2の三乗根)ならばQ(k)=a+b k+c k^2(a,b,cは有理数)となります。この場合はガロア拡大ではありません。
ガロア拡大とは方程式の解全てを添加してできた体です。x^3=2という方程式の解は2^(1/3)以外にも二つありますから上の例ではガロア拡大ではないことになります。また一つの方程式の異なる解は互いに共役であるといいます。
ガロア群とは共役なものを入替えるという操作が作る群です。
Q(√m,√n)の場合は方程式は(x^2-m)(x^2-n)=0で解は√n,√m,-√n,-√mの四つです。ガロア群は (なにもしない)、(√nと-√nを入替える。つまり√nの係数の符号を逆にする)、(√mの符号を逆にする)、(√nと√mの両方の符号を逆にする)
の四つの操作から成り立ちます。
ガロア群に部分群があるときはその部分群に含まれる操作で変化しない数を集めた体が存在します。それが部分群に対応する部分体です。
Q(√m)の元は(√nの符号を逆にする)という操作では不変なので、{何もしない、(√nの符号を逆にする)}という部分群に対応しています。

お礼

ごていねいにどうもありがとうございましたm(__)m

回答No.1

nakaizu

Q(√m,√n)がガロア拡大であることは示せたのですね。後は簡単です。
4次のガロア拡大であればガロア群の位数は4です。位数が4の群はZ/4Zと(Z/2Z)^2しかありません。
部分体Q(√m)、Q(√n)に対応する部分群がある筈ですので、位数2の部分群が2つ以上ある方を選べばよいことになります。

お礼

ありがとうございましたm(__)mしかし、『部分体Q(√m)、Q(√n)に対応する部分群がある』とはどのようなことなのでしょうか？Ｑ(√m)={a+b√m|a,b∈Ｑ}ということなのでしょうか？私はあまりおつむがないのでごめんなさいm(__)m