ガロア拡大でない例について

質問

ガロア理論を勉強しています。ガロア拡大については、ある程度理解できたつもりなのですが、有理数体Ｑに2の3乗根を添加した体Ｑ(3√2)がＱのガロア拡大でない理由がわかりません。
(複素数体Ｃが実数体Ｒのガロア拡大になっていることはわかります。)
もしもわかられる方がおられれば、お教えいただければ幸いです。

回答No.4

ramayana · ベストアンサー

「Ｇal(Ｑ(2^(1/3))／Ｑ)＝{1}」

Ｇal(Ｑ(2^(1/3))／Ｑ) というのは、多分、Ｑ(2^(1/3))の自己同型全体から成る群という意味なのでしょうね。また、これが {1} に等しいというのは、恒等写像以外に自己同型が存在しないということでしょうね。

恒等写像以外に自己同型が存在しないことの証明は、簡単です。
記号が煩わしいので、

α = 2^(1/3)
ω = e^(2πi/3)

とします。また、σを、Ｑ(2^(1/3)) = Q(α)の自己同型とします。Q(α)の任意の元は、適当な有理数 a, b, c を使って、a + bα + cα^2　と表すことができます。これがσによってどういう元に移るかを考えます。

σ( a + bα + cα^2 )
=σ(a) + σ(b)σ(α) + σ(c)σ(α)^2
=a + bσ(α) + cσ(α)^2

です。よって、σ(α)が分かれば、σが完全に決定されることになります。一方、

α^3 = 2

ですから、

σ(α)^3 = 2

となります。すなわち、σ(α)は、方程式 X^3 = 2の根です。よって、σ(α)は、α、αω、αω^2のどれかです。ところが、αωとαω^2は、Q(α)の元でないので、σ(α)がこれらに一致することは不可能です。よって、σ(α)=αでなければなりません。そこで、上の式に戻って、

σ( a + bα + cα^2 ) = a + bα + cα^2

を得ます。すなわち、σは、恒等写像です。

「τ(τ：a+b(2)^(1/3)→a-b(2)^(1/3))は何故Ｇal(Ｑ(2^(1/3))／Ｑ)に含まれないのでしょうか？」

パスします。a+b(2)^(1/3) や a-b(2)^(1/3) が何を指しているのか分かりません。

お礼

大変丁寧にお答え頂き、有り難うございました。
おかげさまで、理解を深めることができました。

回答No.3

ramayana

「Ｌ^Ｇal(Ｑ(2^(1/3))／Ｑ)＝Ｑは何故言えるのでしょうか？」

質問の意味が分かりません。

Ｑ(2^(1/3))／Ｑ がガロア拡大でないことが分かっているのだから、まさか、 Ｇal(Ｑ(2^(1/3))／Ｑ) はガロア群だ、というのではないでしょうね。

また、L は、体のようにも見えますが、もしそうだとしても、どんな体なのか分かりません。

補足

すみません、質問にすべき内容を間違えておりました。

Ｇal(Ｑ(2^(1/3))／Ｑ)＝{1}と、「環と体の理論(共立出版)p109」に書かれておりますが、Ｇal(Ｃ／Ｒ)＝{1，σ}　(σ：ｚ→ｚの共役複素数)となるのに対し、τ(τ：a+b(2)^(1/3)→a-b(2)^(1/3))は何故Ｇal(Ｑ(2^(1/3))／Ｑ)に含まれないのでしょうか？

回答No.2

ramayana

Ｑ(2^(1/3)) が Q 上の正規拡大でないからです。

ガロア拡大というのは、正規拡大であり、かつ分離的拡大であるということです。体 K が Q 上の正規拡大であるというのは、K の任意の元の Q 上の最小多項式の根が、すべて K に含まれているということです。

2^(1/3) の Q 上の最小多項式を f(X) とすると、f(X) = X^3-2 で、f(X) の根は、2^(1/3)、2^(1/3)e^(2πi/3)、2^(1/3)e^(4πi/3) の 3 個です。このうち、後の２つは虚数ですから、Ｑ(2^(1/3)) に含まれません（Ｑ(2^(1/3)) が実数体に含まれることに注意）。したがって、Ｑ(2^(1/3) は、Q 上の正規拡大でなく、したがって、ガロア拡大でないことになります。

お礼

お教えいただき、有り難うございます。上記の説明で、理解することができました。

ところで、Ｌ^ＧをＬのＧによる固定体とするとき、Ｌ^Ｇal(Ｑ(2^(1/3))／Ｑ)＝Ｑは何故言えるのでしょうか？

回答No.1

noname#163178

ｘ＾３－２＝０がいくつ解をもつだろうか。