ガロア体 について質問します

質問

ガロア体の基礎を学んでいるのですが、計算方法の辺りで分からず悩んでいます。
わかる方がおられましたら教えてください！

下のような例について考えます。
-------------------------------------------
GF(4)=GF(2^2)={0,1,α,α^2}　の拡大体です。
f(x)=x^2+x+1 についてαを根として考えます。
すると、

f(α)=α^2+α+1=0より

α^2=-(α+1)
　　　=-α-1　　　　　…(1)
　　　=α+1

α^3=α^2*α
　　　=(α+1)α
　　　=α^2+α
　　　=α+1+α
　　　=α(1+1)+1
　　　=1
-------------------------------------------
のようになります。
ここで質問なのですが、

【質問１】
上記(1)の部分で「-α-1=α+1」となりますが、なぜ「-α=α」なのでしょうか。

【質問２】
上記のようなガロア体においては「1+1=0」となります。なぜでしょうか。理由について教えてください。
※GF(3)={0,1,2}では「1+1=2」です！

私が疑問に思っていることは以上です。
ガロア体初心者ですので、是非やさしくおしえてくださいm(_ _)m

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

どうやらじっくり取り組んでいらっしゃるようです。ならばいきなりガロア群がどうたら言うより、この段階では演算をひとつずつ確認なさってはいかがでしょうか。

　まずGF(2)={0,1}が体になっていて、
0+0=0、1+0=1、1+1=0、0×0=0、1×0=0、1×1=1
である。このGF(2)を部分体として含む拡大体GF(2^2)={0,1,α,β}を考えているのだから、これらの関係はそのままGF(2^2)に埋め込まれなくてはなりません。だからGF(2^2)においても1+1=0である。そして
　0が（可換な）体GF(2^2)の零元だから
　　α+0=α、β+0=β
　　α×0=0、β×0=0
であり、さらに
　　α+α=α×(1+1)=α×0=0
と分かります。（すると、(α+1)+(α+1)=(α+α)+(1+1)=0 だと分かるので、(α+1)=-(α+1)である。）
　また1が（可換な）体GF(2^2)の単位元だから
　　α×1=α、β×1=β
までは宜しいんじゃないでしょうか。さて、
　　α+1=xとすると、x∈{0,1,α,β}である。
●もしx=αだとすれば、α+1=αより、1=0である。α=α×1=α×0=0、同様にβ=0。つまりGF(2^2)={0}になっちゃって、これはGF(2)の拡大体ではないから、ダメ。
●もしx=1だとすれば、α+1=1より、α=0である。もしβ=0かβ=1なら、GF(2^2)=GF(2)になって、これはGF(2)の拡大体ではない。また、β∉{0,1}だとすると、0,1をどう組み合わせて演算してもβが出て来ないのだから、体であるためにはβ+1=βであるしかない。すると、1=0になっちゃうんで、ダメ。
●もしx=0だとすれば、α+1=0なので、α+1+1=1よりα+0=α=1となってやはりダメ。
だから、
　　α+1=β
でなくちゃいけない。すると、
　　β+1=α+(1+1)=α
　　β+α=(α+α)+1=1
　　β+β=(α+α)+(1+1)=0
が決まります。次に、
　　α×α=yとすると、y∈{0,1,α,β}である。
●もしy=αだとすると、α×α=α×1よりα=1となって上記と同様、ダメ。
●もしy=1だとすると、α×α=1よりα=1となってダメ。
●もしy=0だとすると、α×α=0だからα×(α+1)=αつまりα+1=β=1となってダメ。
なので
　　α×α=β
でなくちゃいけない。（これでようやく、βのことを(α^2)と書けるようになった訳です。）そして、
　　β×α=(α+1)×α=α×α+α=β+α=1
　　β×β=(α+1)×(α+1) = β+(α+α)+1= β+1=α
が決まります。

お礼

丁寧な説明ありがとうございます。
理解できました！

回答No.2

uyama33

上記のようなガロア体においては「1+1=0」となります。なぜでしょうか。理由について教えてください。
※GF(3)={0,1,2}では「1+1=2」です！

の部分だけですが、
GF(2)では、
整数全値を２で割ったときのあまりによって二つに分けます。
あまり０のグループ（偶数）と余り１のグループ(奇数）
です。
余り０のグループを０で表し、余り１のグループを１で表します。
演算は、任意の代表で行う。
例えば、
偶数代表４と奇数代表７を足すと１３になります。これを
０（偶数）＋１(奇数）＝１（奇数）と書きます。
1（奇数）＋１(奇数）＝0（偶数）と書きます。
２で割ったときの余りに注目して考えます。

また、
GF(3)では、整数全体を３で割った余りでグループに分けます。
余り０、１，２の３グループに分けます。
余り１の代表７と余り１の代表１０を加えると１７＝３*5+2（３で割ってあまり２）です。
これを、
１（余り１）+1（余り１）＝２（余り２）
と書きます。
３で割った余りに注目します。

お礼

そういう考え方もあるんですね。
ありがとうございます。