ガロアの基本定理の前のところ

質問

以下は，永田「可換体論」の一部ですが、
定理２．７．３．　ある可換体の部分体Ｋ、Ｌ．Ｋ’について、Ｋ⊆Ｌ∩Ｋ’とする。
（イ）略
（ロ）ＬがＫの有限次分離的拡大体で、K’がＫの正規拡大体であれば、K’（Ｌ）はK’の有限次分離的拡大体で、［K’（Ｌ）：K’］＝[Ｌ：（Ｋ’∩Ｌ）］

証明
（ロ）Ｌを生成する元ａのＫ’∩Ｌ上の最少多項式をf(ｘ)とし、f（x）の根をａ1、------、ar(r=degｆ）とする。K’（ａ）＝K’（Ｌ）、K’（Ｌ）はK’のガロア拡大である。 f(ｘ)がK’上で　
Π（ｘ－ａｉ）を因子にもったとする。（ａ＝ａ1、ｓ≦ｒ）。
　ｉ＝１~ｓ
その係数ｃ1、---、ｃsをとる。ｃi∈K’．　他方ｃiは、ａ1、------、asの整式で表されるからＫ上分離的。＃＃＃＃
ゆえにK’に含まれるＫ’∩Ｌの有限次ガロア拡大体Ｋ”でｃ1、---、ｃsを含むものがある。
以下は省略しますが、上記の＃＃＃＃部分についてなぜK上分離的か説明くださればありがたいのですが。

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

>ｃiは、ａ1、------、asの整式で表されるからＫ上分離的。＃＃＃＃。この＃＃＃＃部分は、なぜK上分離的か

ということですが、そんなに難しいことではありません。

『Ｌを生成する元ａのＫ’∩Ｌ上の最少多項式をf(ｘ)とし、f（x）の根をａ1、------、ar(r=degｆ）とする』
なとっていますね。ＬはＫの有限次分離的拡大体ですから、当然、ｃiは、Ｋ上分離的です。

お礼

そういわれれば、そうですね。わかりました。ありがとうございました。