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ガロア拡大体とその部分体について
- ガロア拡大体とは何か、部分体とは何かを考える。
- ガロア拡大体の拡大次数はどのように求められるのか。
- ガロア群の生成元についての考え方について解説する。
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＞(2)のσについて、σ(z)=z^2,σ^2(z)=z^4,σ^3(z)=z^8=z^3,σ^4(z)=z^16=z ＞となって、σ^4で初めて1になるのでσが生成する巡回群という感じでしょうか？ はい、その通りです。 F = Q(z), L = F(x) として Gal(L/F) を求めることに関しては、すでに正解していて、τ が生成元です。 s, t ∈ F に対して、τ(s + tx) = s - tx Gal(L/Q) = <σ, τ> で、この群には名前が付いているので、ご存知だと思います。
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- 26803TT519
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＞(1)のσをとると、σ(θ)=a+bz^2+cz^3+dz^4=(a-d)-dz+(b-d)z^2+(c-d)z^3 ＞(z^4+z^3+z^2+z+1=0)となって、K-自己同型なのかなと思ったのですがどうでしょう... 落ち着いて考えてください。 この σ は準同型写像になっていません。 また、z^5 = 1 ∈ K ですから、σ が L の K-自己同型写像であれば σ(z^5) = 1 です。 σ(z^5) = z とはなりません。 ＞(2)のσをとると、σ^4(z)=z^16=zとなるから、σ=id_Kよりσが巡回群の生成元になると思います。 確かに σ^4 = 1 ですが、それだけでは σ の位数が 4 であることの説明としては不十分です。 私のほうも、 ＞σ(z) をどう定義すれば {σ, σ^2, σ^3, σ^4} が巡回群になるか、考えてみてください。 この表現は正確ではなく、「巡回群」の部分を「位数 4 の巡回群」と書くべきでした。
お礼
θ=a+bz+cz^2+dz^3,θ'=a'+b'z+c'z^2+d'z^3とすると、(1)のσは、 σ(θθ')=σ(aa'+(ab'+ba')z+...+dd'z^6)=aa'+(ab'+ba')z^2+...dd'z^6 σ(θ)σ(θ')=(a+...+dz^4)(a'+...+d'z^4)=aa'+...+dd'z^8 となって確かに、準同型ですらないですね...。大変失礼しました。 (2)のσについて、σ(z)=z^2,σ^2(z)=z^4,σ^3(z)=z^8=z^3,σ^4(z)=z^16=z となって、σ^4で初めて1になるのでσが生成する巡回群という感じでしょうか？
- 26803TT519
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＞(1)z→z^2,z^2→z^3,z^3→z^4,z^4→z^5,z^5→z のように一個ずつずれるような写像 例えばこの場合、σ は L の K-自己同型写像になっていますか。 ＞これから、σ(z)の行き先を考えればよいと思うのですが、行き詰っています。 σ(z) をどう定義すれば {σ, σ^2, σ^3, σ^4} が巡回群になるか、考えてみてください。
補足
(1)のσをとると、σ(θ)=a+bz^2+cz^3+dz^4=(a-d)-dz+(b-d)z^2+(c-d)z^3 (z^4+z^3+z^2+z+1=0)となって、K-自己同型なのかなと思ったのですがどうでしょう... (2)のσをとると、σ^4(z)=z^16=zとなるから、σ=id_Kよりσが巡回群の生成元になると思います。
- 26803TT519
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K = Q(x)、L = K(z) として、まず Gal(L/K) を求めてみてください。 質問を拝見した感じでは、ガロア群の定義（または準同型写像の定義）がよく理解できていないようなので、基礎から勉強し直すのがいいと思います。
補足
Lの元θを取ると、θ＝a+bz+cz^2+dz^3（a,b,c,d∈K）と表せて、σ∈Gal(L/K)=Aut_K(L)を考えると、σ(θ)=a+bσ(z)+cσ(z)^2+dσ(z)^3となる。これから、σ(z)の行き先を考えればよいと思うのですが、行き詰っています。この先どう考えていけばいいのでしょうか（そもそも違っているかもしれません...）。
お礼
ご丁寧にありがとうございました。 大変勉強になりました。基礎からもっとやり直してきます。