ガロア群の有理関数の求め方
ガロア群の有理関数の求め方
以下では有理数体で考える。
求める方程式を
f(x)=x^3-2
とする。
根は
x_1=2^(1/3), x_2=2^(1/3)(-1 + √3i)/2 , x_3=2^(1/3)(-1 - √3i)/2
である。
すべての置換sについて
V = c_1*x_s(1)+c_2+x_s(2) +c_3*x_s(3)
の値が異なるc_1,c_2,c_3が存在する。
その値を
c_1 = 0, c_2 = 1, c_3 = -1
とする。
単位置換について値を計算する
V = c_1*x_1 + c_2+x_2 + c_3*x_3 = 2^(1/3)( √3i)
Ｖは
V^6+108 = 0 の根でもある。
このとき
x_1 = φ1(V)
x_2 = φ2(V)
x_3 = φ3(V)
となる有理関数が存在する。
有理関数とはP(V)/Q(V)の関数で、P(V), Q(V) は 有理数を係数とするＶの多項式である。
さて、質問です。
この
φ1,φ2,φ3
の具体的な関数は何でしょうか。
それとも円分体の場合は特別なのでしょうか。
わかっている方がおりましたら、教えて下さい。
以下は４次方程式
f(x)=(x^2-2)(x^2-3)
の数値の場合である。
根は
x_1= √2, x_2= -√2, x_3= √3, x_4= -√3
である。
c_1 = 1, c_2 = -1, c_3 = 3 c_4 = 2
とすると
V= 1*x_1 - 1*x_2 + 3*x_3 + 2*x_4 = 2*√2 + √3
となる。このとき
5/V = (2*√2 + √3) * (2*√2 - √3) / (2*√2 + √3 ) = 2*√2 - √3
であるので
有理関数は
x_1 = (v + 5/v )/4 = (V^2 + 5)/(4V) = φ1(V)
x_2 = -x_1 = -(V^2 + 5)/(4V) = φ2(V)
x_3 = (V - 5/V )/2 = (V^2 - 5)/(2V) = φ3(V)
x_4 = -x_3 = -(V^2 - 5)/(2V) = φ4(V)
となる。
