１の原始２０乗根の円分体のガロア群を調べています。

質問

ξを1の原始20乗根とします。
このとき、Q(ξ)/Qは8次のガロア拡大ですが、この拡大体の中間体はいくつあり、それぞれのＱ上の生成元は何か？という問題を考えています。

Galois(Q(ξ)/Q)をGとおいたとき、
Gは20を法とする既約剰余類U(Z/20Z)に同型ですよね。
すなわち、結果的には(Z/2Z)×(Z/4Z)という２つの巡回群の直積に同型になるはずです。

Q(ξ)/Qの中間体の個数は、ガロアの基本定理より、Gの互いに異なる部分群の個数ですから、
結果的に７つあることがわかりました。

G=Z/2Z ×　Z/4Zの元として、それぞれの部分群は
(1)　　　<(0,2)>
(2)　　　<(1,0)>
(3)　　　<(1,2)>
(4)　　　<(0,1)>
(5)　　　<(1,1)>
(6)　　　<(1,0) , (0,2)>
(7)　　　<(1,1) , (0,2)>
を生成元とする群だとわかりました。

具体的に
σ(i)=-i
σ(ξ)=ξ

τ(i)=i
τ(ξ)=ξ^2

とおけば、σは(1,0)　τは(0,1)に対応します。

問題は、生成元を求める方法がわからないことで、
(1)、(2)に対応する不変体は簡単にわかったのですが、
(3)、(5)、(7)の不変体のQ上の生成元がわからないのです。

例えば、(3)の場合。　不変体をKとおきます。
<(1,2)> は　<στ^2>に対応しています。
このστ^2で動かない元を具体的に探してみようと思ったのですが、

Q(ξ)のあらゆる元は、
a_0+a_1i+a_2ξ+a_3ξ^2+a_4ξ^3+a_5iξ+a_6iξ^2+a_7iξ^3
の形ですから、これをστ^2でとばしても、動かない元全体が、Kになるわけですよね。

でも、それを計算してみても式がとても汚くなって生成元の形がわかりませんでした。
どうすればいいのでしょうか。

教えてください。

回答No.1

ramayana

作業の方針は、おおむね良いと思います。ただ、σとτの設定に難があります。

i = ξ^5 であることに注意しましょう。もしσ(ξ) = ξ なら、σ(i) = σ(ξ^5) = σ(ξ)^5 = ξ^5 = i となります。σ(i) = -i にはなりません。

また、もし τ(ξ) = ξ^2 なら、τ(i) = τ(ξ^5) = τ(ξ)^5 = (ξ^2)^5 = ξ^10 = -1 となります。τ(i) = i にはなりません。

要するに、ご質問文のようなσとτは存在しません。

代わりに、次のαとβを使ってはどうでしょうか。

　　α(ξ) = ξ^3
　　β(ξ) = ξ^11

αとβが Q(ξ) の自己同型（Galois(Q(ξ)/Q) の元）として有効に定義されていること、αの位数が 4 でβの位数が 2 であること、 Galois(Q(ξ)/Q) がαとβで生成されることが、容易に確かめられます。