- 締切済み
ガロア理論
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
みんなの回答
- ojisan7
- ベストアンサー率47% (489/1029)
Q(√2+√3)とQ(√2,√3)は等しくなりますか。確認して下さい。 あとは、分かりますね。やさしい問題ですよ。教科書をよく読んで下さい。
関連するQ&A
- ガロア理論についてなのですが
代数学の問題で、 体Ｋ＝Ｑ(√m，√n)はＱ上ガロア拡大で、ガロア群Ｇは、 (Z/2Z)^2と同値であることを示せ。 なんですが、体Ｑ(√m，√n)が、Ｑ上４次拡大であることは示せたのですが、そこからどうすればいいのかわかりません。 できればガロア理論に関しての参考ＵＲＬか、解法を教えていただきたいのですが。お願いしますm(__)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ガロア理論:体の拡大で起こっていること
ガロア理論の考えでは,基礎体K上の既約多項式の根をすべて添加したガロア体Σをつくる.そのガロア体を基にΣ/Kの自己同型群Gを今度は考える.その自己同型群の中に正規部分群N1を探し,その正規部分群で群Gの剰余群G/N1＝G1を作る.また,G1の中に正規部分群を探し,N2とする.G1/N1の剰余群を作り,このやり方を繰り返し,群Gを小さくし,最終的には,単位元のみの群Eまで小さくすると理解しています. さて,正規部分群を使って,小さくしていく場合,対応する体側ではどのような拡大が起こっているのでしょうか.可解であるためには,剰余群の次数が素数であることが求められますが,対応する体の拡大はその素数乗根の共役根による拡大になっているといっていいのでしょうか.
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ガロア拡大でない例について
ガロア理論を勉強しています。ガロア拡大については、ある程度理解できたつもりなのですが、有理数体Ｑに2の3乗根を添加した体Ｑ(3√2)がＱのガロア拡大でない理由がわかりません。 (複素数体Ｃが実数体Ｒのガロア拡大になっていることはわかります。) もしもわかられる方がおられれば、お教えいただければ幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- １の原始２０乗根の円分体のガロア群を調べています。
ξを1の原始20乗根とします。 このとき、Q(ξ)/Qは8次のガロア拡大ですが、この拡大体の中間体はいくつあり、それぞれのＱ上の生成元は何か？という問題を考えています。 Galois(Q(ξ)/Q)をGとおいたとき、 Gは20を法とする既約剰余類U(Z/20Z)に同型ですよね。 すなわち、結果的には(Z/2Z)×(Z/4Z)という２つの巡回群の直積に同型になるはずです。 Q(ξ)/Qの中間体の個数は、ガロアの基本定理より、Gの互いに異なる部分群の個数ですから、 結果的に７つあることがわかりました。 G=Z/2Z × Z/4Zの元として、それぞれの部分群は (1) <(0,2)> (2) <(1,0)> (3) <(1,2)> (4) <(0,1)> (5) <(1,1)> (6) <(1,0) , (0,2)> (7) <(1,1) , (0,2)> を生成元とする群だとわかりました。 具体的に σ(i)=-i σ(ξ)=ξ τ(i)=i τ(ξ)=ξ^2 とおけば、σは(1,0) τは(0,1)に対応します。 問題は、生成元を求める方法がわからないことで、 (1)、(2)に対応する不変体は簡単にわかったのですが、 (3)、(5)、(7)の不変体のQ上の生成元がわからないのです。 例えば、(3)の場合。 不変体をKとおきます。 <(1,2)> は <στ^2>に対応しています。 このστ^2で動かない元を具体的に探してみようと思ったのですが、 Q(ξ)のあらゆる元は、 a_0+a_1i+a_2ξ+a_3ξ^2+a_4ξ^3+a_5iξ+a_6iξ^2+a_7iξ^3 の形ですから、これをστ^2でとばしても、動かない元全体が、Kになるわけですよね。 でも、それを計算してみても式がとても汚くなって生成元の形がわかりませんでした。 どうすればいいのでしょうか。 教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- ガロア理論について
現在ガロア理論について学習しています． ガロア理論によって帰結される結論に，「5次以上の方程式は代数的に解くことが出来ない」というものがありますが，ガロアは最初からこの結果を得るために，群論というものを考えたのでしょうか？ それとも，何か他の目的で群というものを考え始め，それを発展，応用していく中で上の結果を得ることが出来たのでしょうか？ 現在はこのガロア理論も整理され，「5次以上の方程式は代数的に解くことが出来ない」ということを導く一連の過程をガロア理論と呼ぶように思えますが，ガロアもはじめからそのことを達成するために新しく代数学を生み出したのでしょうか？ 初歩的な質問かもしれませんが，気になったので教えてください． よろしくお願いします．
- 締切済み
- 数学・算数
- ガロア拡大体とその部分体について
ガロア群の構造を考えているのですが煮詰まっています。 Qを有理数として、体の拡大Q(√2,exp(2πi/5))/Qについて考えています。(以後√2=x,exp(2πi/5)=z,L=Q(x,z)と書きます。） この時、xの最小多項式がx^2-1,zの最小多項式がz^4+z^3+z^2+z+1となるから、LはQのガロア拡大となり拡大次数は2*4=8。よって、ガロア群の位数も8。ここでガロア群の生成元を考えたいのですが、一つは、τ(x)=-x,τ(z)=zとなるようなτであると思うのですが、もう一つをどのように考えればよいのかわかりません。 (1)z→z^2,z^2→z^3,z^3→z^4,z^4→z^5,z^5→z のように一個ずつずれるような写像 (2)z→z^2となるような写像 (3)その他 何が正解でなぜなのかを教えていただけないでしょうか。5乗根だけでなく、他の円分体のときのガロア群の生成元についての考え方についても教えていただけると幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ガロア理論:単拡大定理の意義
ガロア理論で,有理数体を係数体として,その根をx1,x2,...xnとしたとき,これらの根を添加した体Q(x1,x2,...xn)と単拡大定理を使った拡大Q(V(x1,x2,...xn)とはどこが違うのでしょうか.もちろん表現として違うことはわかりますが,この根を変数とするパラメータVが存在することによって,体を扱う上で何が違うのでしょうか.単拡大定理の存在理由が今一つわからないので,教えてください.
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ガロア拡大についてなのですが…
代数学の本を読んでいて、ちょっと理解しにくい部分があったので、質問させていただきます。 「体Ｋを含むような代数体がＱ(有理数全体の集合)上のガロア拡大体ならば、Ｋの原始元αと同時に、αの最小多項式の根α1,α2…,αnを含んでいなければならない」という風に書かれていたのですが…αを含まなきゃならないのはわかるのですが、なぜα1,α2…,αnまで、含む必要があるのでしょうか?? すっきりせず気持ちが悪いので、どなたかお知恵をお貸ししていただけると幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ガロア体 について質問します
ガロア体の基礎を学んでいるのですが、計算方法の辺りで分からず悩んでいます。 わかる方がおられましたら教えてください！ 下のような例について考えます。 ------------------------------------------- GF(4)=GF(2^2)={0,1,α,α^2} の拡大体です。 f(x)=x^2+x+1 についてαを根として考えます。 すると、 f(α)=α^2+α+1=0より α^2=-(α+1) =-α-1 …(1) =α+1 α^3=α^2*α =(α+1)α =α^2+α =α+1+α =α(1+1)+1 =1 ------------------------------------------- のようになります。 ここで質問なのですが、 【質問１】 上記(1)の部分で「-α-1=α+1」となりますが、なぜ「-α=α」なのでしょうか。 【質問２】 上記のようなガロア体においては「1+1=0」となります。なぜでしょうか。理由について教えてください。 ※GF(3)={0,1,2}では「1+1=2」です！ 私が疑問に思っていることは以上です。 ガロア体初心者ですので、是非やさしくおしえてくださいm(_ _)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
Q(√2+√3)とQ(√2,√3)は等しくなります。 Q(√2,√3)がガロア拡大であることを証明すれば、 Q(√2+√3)がガロア拡大であることを示したことになりますか？ 回答ありがとうございます！