アーベル群の個数

質問

『位数が120の有限アーベル群は同型を除いて何個あるか？』

これはアーベル群の元の個数を答えればいいのでしょうか？
巡回群→アーベル群であるから
位数が120の巡回群の生成元の個数ｎはEuler関数ψを用いて
n=ψ(120)=120*(1-1/2)*(1-/3)*(1-1/5)=32
より32個

であってますか？
明日試験で困ってます。どなたかご教授下さい。

◆疑問点
1：巡回群→アーベル群ですが、アーベル群→巡回群はいえないので上のでは正しくない（不足しているものがあう可能性がある）？
2：同型を除いて…同型がいまいちよくわかりません

回答No.3

33550336 · ベストアンサー

答えは３２じゃあまずいと思います…
有限アーベル群の構造定理はご存知ですか？
有限アーベル群は不変系と呼ばれる数字の組み合わせだけで同型類が決定されます。
位数が１２０の場合、素因数分解が
120=2^3*3*5
なので、不変系は(120)、(2,60)、(2,2,30)の３種類です。
よって位数120のアーベル群の同型類は３つだけです。

不変系などに関しては適当な代数の参考書にのっているので、参照してみてください。

お礼

回答ありがとうございます。
試験は終わりましたが、これから春休みの間に復習してみようと思います

回答No.2

zk43

位数120のアーベル群の一つとして、巡回群があるということです。
巡回群以外にも、位数120のアーベル群が存在する可能性はあります。
それらを調べよ、ということです。
同型を除いてということは、G1、G2が位数120のアーベル群で、
G1とG2が同型ならば、この二つは同じ群であるとみなし、一つ
と数えるということです。
ちょうど、合同な三角形は同じものとみなす、というような感じです。
同型ならば、群としての代数構造は同じなので、同じ群とみなします。
群としての構造を考えるときは、群の要素が、数であろうが、行列
であろうが、写像であろうが、何を表しているかは関係なく、単に
演算の構造のみを見るということです。
多分、群の直積などを考えれば良いのだと思います。
何か、有用な定理などもありそうですが・・・

お礼

回答ありがとうございます。

私自身内容を理解できてませんが、どうやら答えは32でいいようなので同じような問題が出たら、とりあえずこのように解いて、後日復習しようと思います

回答No.1

nakaizu

根本的に間違っているので、まずは教科書を最初から読みなおして下さい。
アーベル群がいくつあるかという問題とアーベル群の元の個数はいくつかという問題は違います。
また、群の元の個数を位数というので、位数が120なら元の個数も120です。

位数120の巡回群で一個です。他にも位数120のアーベル群があります。たとえば位数60の巡回群と位数2の巡回群の直積です。そういった群が全部でいくつあるかという問題です。

お礼

回答ありがとうございます
やっぱまじめに授業受けてなかったツケがまわってきましたか…

この授業、教科書ないんですよね…ネット調べてがんばります