アーベル群

質問

「位数が9以下の有限群は、位数が６．８をのぞきすべてアーベル群である。」どのように示せばいいのでしょうか。ヒントをください。

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

位数が１のときは自明として、位数が２，３，５，７のときは、これら
は素数なので、巡回群となり、したがってアーベル群です。
あとは位数が４の場合ですが、単位元でない元aの位数は２か４です
が、位数が４の場合は位数４の巡回群となり、したがってアーベル群
になります。
aの位数が２の場合は、部分群{e,a}による剰余群を考えると、群は
{e,a}∪b{e,a}＝{e,a}∪{b,ba}となり、{e,a}の群における指数が２な
ので、これは正規部分群であり、したがって、
b{e,a}b^(-1)＝{e,a}
{e,bab^(-1)}＝{e,a}
より、bab^(-1)＝aとなり、ba＝abとなり、aとbは可換となります。
あとは、ba＝abを利用して、aとba、bとbaが可換であることを示せば、
群はアーベル群であることが言えます。

お礼

非常にわかりやすい説明どうもありがとうございます。よくわかりました。

補足

位数が４の場合は位数４の巡回群となりというのは,自明trivialでしょうか。

回答No.3

zk43

一応、補足への回答として

元aの位数が４のときは、aは４乗して初めてeになるので、e,a,a^2,a^3
はすべて異なり、しかもこれらは群に含まれ、群の位数は４なので、
個数を考えると、群は{e,a,a^2,a^3}になって巡回群、したがってアー
ベル群になります。

お礼

そうでした。30年群論やってなかったのではずかしい。補足書き込んだ瞬間気が付いたんですが。
ごていねいに、どうもありがとう。

回答No.2

zk43

あと位数が９の場合がありましたね。
この場合も単位元でない元aの位数が３の場合と９の場合を考えて、
位数が３の場合は、同様にaで生成される部分群{e,a,a^2}による
剰余類を考えることになります。
また、一般的にpを素数とするとき、位数がp^2の群はアーベル群に
なります。

お礼

よくわかりました。