有限群について

質問

位数が２５の有限群を全て求めよ。

どなたか教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

ramayana

次の通りです。

（共役類、類等式、中心化群、中心）

Gを有限群とする。

Gの元 a、b について、 G の元 x が存在して b = x^(-1)ax となるとき、 b が a と「共役」であるという。共役かどうかは、同値関係である。すなわち、次が成立する：

　　a は、自分自身と共役
　　a が b と共役なら、b は a と共役
　　a が b と共役で b が c と共役なら、a は c と共役

共役な元どうしをまとめて１つの類にすることにより、 G の元全体を類別できる。それぞれの類を「共役類」という。 G が k 個の共役類に分けられるとして、それぞれの共役類に属する元の個数を n1、n2、…、nk とすれば、次の関係式が成立する。これを「類等式」という。

[1]　|G| = n1 + n2 + … + nk　　（ |G| は、G の位数）

a を G の元として、 a と可換な G の元全体を N(a) と書く： N(a) = { x∈G | ax = xa }。 N(a) は、G の部分群であって、 a の「中心化群」（or「正規化群」）と呼ばれる。

m = [G:N(a)] として、N(a) による右剰余類全体を N(a)y1、N(a)y2、…、N(a)ym とする。 xyi∈N(a)yi　(x∈N(a); i = 1, 2, …、m) のとき、 (xyi)^(-1)a(xyi) = yi^(-1)x^(-1)axyi = yi^(-1)ayi なので、それぞれの右剰余類は、代表元yiの選び方によらず、aを一意的にその共役に移す。この「N(a) の右剰余類全体」→「aの共役全体」の対応は、全単射である。よって、mは、 a が属する共役類の元の個数に等しい。以上をまとめて、次を得る：

[2]　aが属する共役類の元の個数を ni　( i は 1 から k のどれか) とするとき、 ni = [G:N(a)]

G のすべての元と可換な G の元全体を Z とする： Z = { x∈G | yx=xy　for all　y∈G}。 Z は、G の正規部分群であって、「中心」と呼ばれる。もし a∈Z なら N(a) = G なので、[2]から次のことが分かる：

[3]　a が属する共役類の元の個数を ni　( i は 1 から k のどれか) とするとき、　　a∈Z ⇔ ni = 1

[3]により、１つの共役類が Z に属さない元と Z に属する元の両方を含むことはない。そこで、 G の共役類を、「 Z に属さない元から成るもの」と「 Z に属する元から成るもの」に分ける。前者に相当する共役類の個数を k' とする。必要に応じ番号を振り替えて、n1、 n2、 … 、 nk' が前者に相当すると考えてよい。すると、[1]と[3]により、次を得る：

[4]　|G| = n1 + n2 + … + nk' + |Z|
　　　（ |G|、|Z| は、それぞれG、Z の位数。 n1 から nk' は、2以上。）

(位数 p^2 の群がアーベル群であること)

以下、 p を素数として、 |G| = p^2 とする。

この場合、[4]において、n1 から nk' がすべて p で割り切れる（[2]による）。よって、|Z| も p で割り切れる。とくに、 Z が単位群でないことが分かる。したがって、剰余群 G/Z の位数は、1か p である。いずれにしろ、 G/Z は、巡回群である。 G/Z の生成元を代表する G の元をαとすると、 G は、αと Z で生成される。 Z が G の中心だから、 Z のすべての元とαは、可換である。したがって、 G は、アーベル群である。

( G の決定)

G の元のうち位数が最大のものをひとつ選んで、βとする。βの位数は、p^2又はpである。

もし、βの位数がp^2なら、 G は、巡回群である。

もし、βの位数がpなら、次のようになる。βで生成される部分群をBとする。剰余群G/Bは、位数がpの巡回群である。G/Bの生成元を代表するGの元を、γとする。γで生成される部分群を C とする。すると、 C の位数は p であって、 G は、 B と C で生成される：

[5]　G = <B, C>

実は、G は、B と C の直積である。 b =β^i ∈B、c =γ^j ∈C （0≦i≦p-1、0≦j≦p-1）、bc = 1としてみる。仮にj≠0なら、

β^i・γ^j = 1 ⇒ γ = β^(-im)　（mは、mod p で jmが1と一致するような整数）　⇒　γ∈B　（矛盾）となる。

したがって、j = 0 、i = 0 すなわち c = 1、 b = 1 でなければならない。よって、[5]と併せて、 G は、 B と C の直積であることが分かる。

とくに、 p = 5なら、 G は、位数25の巡回群か、位数5の巡回群２個の直積かの、どちらかになる。

回答No.1

ramayana

次のいずれかです。

　　(1)　位数25の巡回群
　　(2)　位数5の巡回群2個の直積

群論についてどこまでの知識を前提にするかで説明が変わってきますが、例えば、pを素数として、

　　「位数p^2の群はアーベル群である」

という命題を前提とするなら、上の結論は自明です。

お礼

すみませんが、分かりやすく教えて頂けないでしょうか？
よろしくお願い致します．

補足

すみませんが、分かりやすく教えて頂けないでしょうか？
よろしくお願い致します．