任意の有限群は、適当な置換群 Sn(N) の部分群？

質問

Wikipedia のどこかで「任意の有限群は適当な置換群 Sn(N) の部分群である」ことが
20 世紀の終わりごろ証明されたと書いてあるのを見た記憶があります。でも、英語だっ
たか、日本語だったかも記憶がありません。何度も検索しなおしたのですが、そのページ
が見つかりません。

私の直感は掲題の命題が成り立つとも言っています。でも、こんな凄まじい結果が数学の
教科書や web ページに書いてないのも変です。私の認識に、何らかの誤りがありそうで
す。以下のことについて教えてもらえますでしょうか。

１ 「任意の有限群は適当な置換群 Sn(N) の部分群である」の証明があるか否か。
１－１ あるのならば、それを解説してある web ページ、
１－２ 無いのならば、その反例。

２ より狭めて「位数 N の有限群は置換群 Sn(N) の部分群である」が言えそうに思えます。
　 でも反例もありそうにも思えます。この証明があるか否か。
２－１ あるのならば、それを解説してある web ページ、
２－２ 無いのならば、その反例。

以上、詳しい方、よろしくお願いします。

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

webにはあるかわかりませんが、定理の名前でいえば、
ケーリー（Cayley）の定理といいます。
証明の概略としては、Gを位数nの有限群として、
a∈Gを一つ取り、x→ax（x∈G）で写像fa:G→G
を定めると、これは全単射であり、Gの置換を
引き起こします。Gの置換全体の集合をSGとすると、
明らかにSGとSnは同型です。
そして、a→faによって写像φ：G→SGを定めると、
これは単射準同型になるので、GはSGに埋め込まれる、
すなわち、GはSnの部分群と同型となる、といえます。

お礼

zk43さん、定理の名前を教えてくださり、ありがとうございます。

＞webにはあるかわかりませんが、定理の名前でいえば、
＞ケーリー（Cayley）の定理といいます。

証明の筋道としては、arrysthmia へのお礼で書いたことと同じだと思います。

また英語ですが、下に証明がありました。日本語では見つけられませんでした。
http://math.la.asu.edu/~kawski/classes/mat444/handouts/strongCayley.pdf

==============================
しかし、教科書や web ページで、「位数 N の有限群は置換群 Sn(N) の部分群である」
ことが殆ど書かれていないのが不思議です。本当に大多数の皆様にとって自明なことなの
でしょうか。

補足

arrysthmia さん、下でお名前を呼び捨てにしてしまっています。コピー・ペーストした
時に敬称を忘れたまま送信してしまいました。悪意はございません。失礼をお詫びします。

回答No.4

zk43

webを探しますと、「置換表現」というキーワードで探せば、
同じ内容のものがあります。
Gの自分自身への作用を考えても良いのですが、
すでに回答にもありますが、Gの集合{1,2,…,n}への作用を
考えても良いです。
群の表現論の分野の話のようですね。
私の持っている群論の入門書を見てみたら、やはり、群の
作用の話のところで、置換表現という記述がありました。
定理に名前がついているように、そんなにすぐわかる「自明」
なことではないように思います。
慣れている人には「当たり前」なのかもしれませんが、
私は、自力で発見する自信はありません。

お礼

zk43 さん、「置換表現」の指摘ありがとうございます。

これで検索してみると、下が最初に出てきました。
http://www.mm.sophia.ac.jp/~tsuno/kougi/03/daisuu_04.pdf

でも、私にとっては「位数 N の任意の有限群は置換群 Sn(N) の部分群と同型である」で
あることが重要です。この性質があることで、置換群のように人工的にも感じられる群の
重要性が やっと納得できるからです。その意味からすると「置換表現」で論じられてい
ることは、少し違う視点だなと感じます。

＞慣れている人には「当たり前」なのかもしれませんが、
＞私は、自力で発見する自信はありません。

こう言ってもらえると少し嬉しくなります。私は、昨日の朝から調べ始め、一晩寝て、
goo に書き込みをしてみた後に、やっと arrysthmia さんの「回答へのお礼」の所に書い
たレベルに到達できました。

他人に質問してみることは、より真剣に考えることにもなることを再確認しました。

また、他の皆様の御意見も、それぞれ味わいのあるものでした。勉強になりました。皆様
ありがとうございました。

回答No.3

arrysthmia

群の作用について:
群 G と集合 S に対して、
G,S から S への写像 g,x→gx で、
∀x∈S,1x = x
∀g,h∈G,∀x∈S,(gh)x = g(hx)
を満たすものが存在するとき、
演算 gx を G の S への作用と呼び、
G は S に作用すると言う。

定義をみれば明らかなように、
S として G 自身を、作用として G の群演算を
採れば、G は G 自身に作用している。

作用 gx の g を固定すると、
S から S への写像とみなせるが、
この写像たちの合成が成す群は
もとの G に同型である。

…という訳で、
No.2 さんも解説してくれているように、
証明は、要するに
「群の自己作用が置換だから。」で終わり。

お礼

arrysthmia さん、御指摘ありがとうこざいます。

＞群 G と集合 S に対して、
＞G,S から S への写像 g,x→gx で、...

数学系の方らしく、思いっきり一般化しておいて、

＞S として G 自身を、作用として G の群演算を
＞採れば、G は G 自身に作用している

論理を積み重ねていかれます。専門の数学書でも、多くが このような論理で展開されま
す。頭の切れる方には、これで良いのかもしれません。

でも、私のように頭の悪い人間には、群論の最初に置換群が出てくる段階で

●なんで置換群のような人工的に見える群を持ち出してくるのだ？

と引っかかってしまいます。

●「位数 N の任意の有限群は置換群 Sn(N) の部分群と同型である」

と言われて、初めて置換群を持ってくる意味を理解できます。できれば、別の機会には私
のような頭の悪いやつもいることを念頭に置いて説明してやってください。

回答No.1

arrysthmia

本に書いてないのは、余りにも自明だから
じゃないですか？
参考文献は、「群の作用」で検索してください。

任意の群は、ソレ自信への作用を持ちますから、
n 位の群は、n 元集合への
ある作用群と同型です。
n 元集合への作用は、
n 個の物を他のどれかに移すのですから、
置換群 Sn の部分群になります。

お礼

＞本に書いてないのは、余りにも自明だからじゃないですか？

すいません。頭の悪い私にとっては自明ではありませんでした。次の具体例でのように考
えて、やっと納得できました。

下のような a,b,c,d を要素とする位数 4 の群を考える。
この群の演算表 f:G x G --> G を下のようなものとする。

　　　　＼　 'a', 'b', 'c', 'd'
a =　　　a　['b', 'd', 'a', 'c']
b =　　a a　['d', 'c', 'b', 'a']
d =　a a a　['c', 'a', 'd', 'b']
c =a a a a　['a', 'b', 'c', 'd']

すると、演算表における a 要素の、横一列の bijection 関数 f(a,x) を対応させられる。
f(b,x), f(c,x).. も対応させられる。この bijection 関数の集合に f(a,x) * f(b,x)
≡ f(a, f(b,x)) と積の演算を入れられる。この bijection 関数の集合を群とできる。
この bijection 関数の群は元の群 G と同型である。

ここで a,b,c,d に 0,1,2,3 の整数を対応させると、bijection 関数 f(a,x) に
S4(1,3,0,2) のように Sn(4) の要素を対応させられる。この対応させた Sn(4) 要素の集
合は、Sn(4) の部分群であり、また元の群 G と同型である。