- ベストアンサー
有限アーベル群Ｇの位数が相異なる２素数ｐ、ｑの積であるとき、Ｇは巡回群
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
大抵の教科書に書いてありませんか？ 構造定理を使わずに、手作りっぽく 書いてみると… G の元で、単位元でないモノの一つを a とし、 a が生成する G の部分群を A とする。 A の位数は、ラグランジェの定理より、 G の位数の約数 1,p,q,pq のどれかになる。 (0) 位数が 1 の場合。 a が単位元でないから、これはありえない。 (1) 位数が p の場合。 可換群の部分群は全て正規部分群だから、 G は A と商群 G/A の直積に分解する。 A,G/A は位数 p,q の部分群であり、 素数位数だから巡回群である。 巡回群同士の直積群は、巡回群となる。 (2) 位数が q の場合。 同上。 (3) 位数が pq の場合。 単項生成の部分群は巡回群だから、 G = A は位数 pq の巡回群になる。
その他の回答 (2)
- ranrantomo
- ベストアンサー率0% (0/4)
難しい問題ですね☆ 教科書読んで頑張ってください☆
- ranrantomo
- ベストアンサー率0% (0/4)
難しい問題ですね☆ 教科書読んで頑張ってください☆
関連するQ&A
- gcd(p,q)=1,∃a,b∈G;#G=pq,#<a>=p,#<b>=qならばGは巡回群
gcd(p,q)=1とする。(G,・)を位数pq(つまり#G=pq)のアーベル群とせよ。 aの位数がp,bの位数がq(つまり#<a>=p,#<b>=q)であるような元a,b∈Gが存在する時, (G,・)は巡回群である事(つまり,∃g∈G;<g>=G)を示せ。 また,このような群Gの例を挙げよ。 という問題はどのようにして示せばいいか分かりません。 是非,ご教示ください。m(＿ ＿)m
- 締切済み
- 数学・算数
- 位数が素数の累乗である群
位数が素数の累乗p^nである有限なアーベル群Gの真部分群Hについて考えます。 どのHをとっても、その位数がp^nより小さくなるようなGは存在しますか？ もし存在するようでしたら、具体例を挙げてください。
- 締切済み
- 数学・算数
- 次の代数学の真偽を教えてください。（理由も添えて）
1.位数が素数である有限群は巡回群である。 2.有限アーベル群はすべて巡回群である。 3.巡回群はすべてアーベル群(=可換群)である。 4.Z/4ZとZ/2Z×Z/2Zは共に位数4のアーベル群である。 5.Z/4ZとZ/2Z×Z/2Zとは同型な群である。 6.アーベル群の部分群はすべて正規部分群である。 7.位数が同じ有限群GとG'は同型である。 8.位数が素数である有限群はアーベル群(=可換群)である。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 位数素数と部分群の数について
pを素数とし，Gを位数pの群とする． このときG×Gの部分群の数を求めよ． といった問題について教えてください． Gは位数pの群なので，GはZ/pZと同型になり，G×GはZ/pZ×Z/pZと同型になるので，Z/pZ×Z/pZの部分群の数を求めればいいと思うのですがそれが求められません． よろしくお願いします．
- ベストアンサー
- 数学・算数
- GL(n,F_p)の巡回部分群
だいぶ昔から友達と悩んでいる問題なのですが、 F_p（pは素数）をp進体とするとき、 F_p上のn次一般線型群GL(n,F_p)を考えます。 この位数を求める問題はよく問題集で見かけるのですが、 この群は位数がp^n-1の巡回部分群をもつことを示せ、 というのが問題です。 ようするに位数p^n-1の元が存在するということですが、 直接見つけることは恐らく困難なので、別の方法で やるのでしょうけど、よい方法が思い当たりません。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- G,G'を有限群とし，ψ:G→G'を準同型とするとき
G,G'を有限群とし，ψ:G→G'を準同型とするとき Im ψの位数がG,G'の位数の約数となることを証明せよ． また，G,G'の位数が互いに素なとき，GからG'への準同型写像をすべて求めよ． という問題なのですが，Im ψがG'の部分群であり，ラグランジュの定理より Im ψの位数がG'の位数となることはわかるのですが，他がわかりませんどなたか解説お願いします．
- ベストアンサー
- 数学・算数
