最小分解体

質問

f(X)=X^4-7∈Q[X]として、f(X)のQ上の最小分解体をLとする。

（１）
拡大次数[L:Q]を求めよ。

（２）
K=L∩Rとする。Kを分かりやすく記述し、L/Kが２次拡大であることを示せ。
K≠K'　だが　K｀＝～K'（同値）となるような体は存在するだろうか？

（３）
L/Qの中間体で、Qの２次拡大であるものを複数挙げよ。

（４）
L/Qの中間体Mで、[M : Q]=4 である体を見つけ、これがある多項式のQ上の最小分解体になっていることを示せ。（具体的に多項式を与えよ）

Kは十分に大きいFの拡大体とする。
（５）
(X^2-3)(X^3+8)と(X^2-4)(X^4-9)で生成されるQ[X]のイデアルJとするとき、J=(f(X))となるような多項式を求めよ。

わからない問題がたくさんあって申し訳ないんですが、もしわかる方いたらぜ教えていただけたらと思います。

回答No.1

sunflower-san · ベストアンサー

(1) これまでと同様です。

f(X)は素数7についてアイゼンシュタイン多項式なのでQ上既約。
よって、M=Q(7^(1/4))とおくと[M:Q]=4

f(X)の根は、±7^(1/4), ±i7^(1/4)の4つ。よってL=M(i)
また、M⊂R, L⊄R より[L:M]=2

従って[L:Q]=[L:M][M:Q]=8

(2) (1)のM=Q(7^(1/4))がL∩Rであることを示す。
M⊂L∩R は明らか。一方、L⊄Rより、[L:L∩R]≧2。[L:M]=2だったので、[L∩R:M]=[L:M]/[L:L∩R]=1しかありえない。
つまりL∩R=M=Q(7^(1/4))。以後問題文にならいQ(7^(1/4))=Kとかく。[L:K]=2 はすでに示した通り。

K≃Q[X]/(X^4 -7)に同型な体はf(X)の他の根を付け加えた体。これらの内、
K=Q(±7^(1/4))は同じ体
Q(±i7^(1/4))も同じ体
である一方、K≠Q(i7^(1/4))

なぜなら、仮にK=Q(i7^(1/4))
とすると、K=K( i7^(1/4))=Lとなり、[L:K]=2に矛盾するから。

よって問題のK'は一つだけ存在し、K'=Q(i7^(1/4))

(3) 全て挙げると、
Q(i), Q(√7), Q(√(-7))
これらがL/Qの中間体であることは明らか。

(4) Q上の最小分解体はすべてのQ上の共役元を含むのでガロア拡大。(逆にQのガロア拡大はあるQ係数多項式の最小分解体になる)

ガロア対応を知っていれば、ガロア群Gal(L/Q)の位数2の正規部分群を見つけよ、というのと同値な問題。
知らなくても(3)から、2つの2次体を組み合わせて、
Q(i, √7)はQ上4次拡大と見当をつけることができる。

まず、Q(i), Q(√7)はそれぞれQの2次拡大なのでガロア拡大。よってQ(i, √7)もまたQのガロア拡大。
Q(√7)⊂R, Q(i, √7)⊄Rより、[Q(i, √7):Q(√7)]=2。よって[Q(i, √7):Q]=4

つまりM=Q(i, √7)は問題の条件を満たす。
そこで、例えば、i+√7のQ上の最小多項式を計算すると、
(X-(i+√7))(X-(-i+√7))(X-(i-√7))(X-(-i-√7))=X^4-12 X^2 +64
であり、明らかにQ(i+√7, -i+√7, i-√7, -i-√7)=Mとなるので、Mを最小分解体とするようなQ係数多項式 X^4-12 X^2 +64 が構成出来た。

(5) ユークリッドの互除法の問題です。
f1=(X^2-3)(X^3+8), f2=(X^2-4)(X^4-9)
とおきます。f1, f2 には明らかな共通因子があるので括りだしておきます：
つまり、
h=(X^2-3)(X+2)
g1=(X^2+2 X+4)
g2=(X-2)(X^2+3)
とおくと、

f1=h×g1
f2=h×g2
です。

J = (f1, f2) = h・(g1, g2)なので、(g1, g2)を求めれば十分です。
(g1とg2が互いに素なので最大公約多項式は1になるはずで、それを確かめます)
g1よりg2の方が次数が高いので、g2をg1で割ると、

g2=(x-4)・g1+(7x+10)

次にg1を(7x+10)で割ると、
g1=(x/7+4/49)・(7x+10)+156/49

いま、(7x+10) = g2 -(x-4)・g1∈(g1, g2)
よって、156/49 = g1-(x/7+4/49)・(7x+10)∈(g1, g2)

よって1∈(g1, g2)が分かった。

つまり(g1, g2)=Q[X]
従って、(f1, f2)=(h)

つまり、求める多項式はh=(X^2-3)(X+2)

お礼

わかりました。本当にありがとうございました。