同次式の因数分解

質問

多項式ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）が同次式でｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝ｇ（ｘ，ｙ，ｚ）ｈ（ｘ，ｙ，ｚ）というふうに多項式の積に分解できたらｇもｈも明らかに同次式になるとあったのでその証明を考えています。

ｆがｎ次式のときはｎ＝ｌ＋ｍ（ｌ、ｍは非負整数）としてｇをｌ次式、ｈをｍ次式とします。ｇの最小次数の項がｊ次、ｈの最小次数の項がｋ次とすると、ｇ＝ｊ次の項＋（ｊ＋１）次以上の次数の項、ｈ＝ｋ次の項＋（ｋ＋１）次以上の次数の項となって、ｇｈを展開すると最小次数はｊ＋ｋ次で、ｇのｊ次の項とｈのｋ次の項の積以外にないのでｇのｊ次の項＝０、ｈのｋ次の項＝０です。以下同じ手順をくりかえしていくとｇとｈの最小次数の項がそれぞれ次々に０になっていってｇにはｌ次の項だけ、ｈにはｍ次の項だけしか残りません。

これで証明できてると思うんですが、何となくダサいのでもっとすっきりした方法があれば教えてください。

ちなみにｆがｎ次の同次式というのはｆが複素係数の３変数の多項式でｆ（λｘ，λｙ，λｚ）＝（λのｎ乗）ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）が任意の複素数λについていえていることとします。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

(p(x,y,z)がn次の同次式)　⇔　(p(t,t,t)=a t^n となるa(a≠0)が存在する)
ということを使って、tに関する恒等式
　　f(t,t,t) = g(t,t,t)h(t,t,t)
を考えればもう少し簡単になるんじゃ？

お礼

なるほどこれだとスッキリですね。
ありがとうございました。