2変数以上の多項式が因数を持つための条件

質問

2変数2次曲線
ａｘ^2＋２ｈｘｙ＋ｂｙ^2＋２ｆｘ＋２ｇｙ＋ｃ＝０
が1次式×1次式に因数分解され、2直線(複素変数も許す、重なる場合も許す)を表すための条件は、
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/figure/surface.htm
にあるように、「xについての判別式＝0のyについての判別式＝0」や、
同じことですが「行列式{{a, h, f}, {h, b, g}, {f, g, c}}＝0」
となります。
すると、3変数2次曲面
ax^2+by^2+cz^2+dxy+eyz+fzx+gx+hy+iz+j=0
が1次式×1次式に因数分解されるための条件とか、
2変数3次曲線
ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3+ex^2+fxy+gy^2+hx+iy+j=0
が1次式×2次式に因数分解されるための条件、1次式×1次式×1次式に因数分解されるための条件
はどうなるのでしょうか？
一般に2変数以上の多項式が因数を持つための条件があればどうか教えてください。

回答No.1

Tacosan

厳密にいうと
「ａｘ^2＋２ｈｘｙ＋ｂｙ^2＋２ｆｘ＋２ｇｙ＋ｃ＝０ が1次式×1次式に因数分解され」
というのは表現としておかしい. 「『左辺が』因数分解され」としないと.

さておき, 2次式なら原理的には変数の数が増えても同じじゃないかなぁ. 結局のところは「xについての判別式＝0のyについての判別式＝0」に帰着できそうな気がする....