• 締切済み

2変数以上の多項式が因数を持つための条件

2変数2次曲線 ａｘ^2＋２ｈｘｙ＋ｂｙ^2＋２ｆｘ＋２ｇｙ＋ｃ＝０ が1次式×1次式に因数分解され、2直線(複素変数も許す、重なる場合も許す)を表すための条件は、 http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/figure/surface.htm にあるように、「xについての判別式＝0のyについての判別式＝0」や、 同じことですが「行列式{{a, h, f}, {h, b, g}, {f, g, c}}＝0」 となります。 すると、3変数2次曲面 ax^2+by^2+cz^2+dxy+eyz+fzx+gx+hy+iz+j=0 が1次式×1次式に因数分解されるための条件とか、 2変数3次曲線 ax^3+bx^2y+cxy^2+dy^3+ex^2+fxy+gy^2+hx+iy+j=0 が1次式×2次式に因数分解されるための条件、1次式×1次式×1次式に因数分解されるための条件 はどうなるのでしょうか？ 一般に2変数以上の多項式が因数を持つための条件があればどうか教えてください。

みんなの回答

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

厳密にいうと 「ａｘ^2＋２ｈｘｙ＋ｂｙ^2＋２ｆｘ＋２ｇｙ＋ｃ＝０ が1次式×1次式に因数分解され」 というのは表現としておかしい. 「『左辺が』因数分解され」としないと. さておき, 2次式なら原理的には変数の数が増えても同じじゃないかなぁ. 結局のところは「xについての判別式＝0のyについての判別式＝0」に帰着できそうな気がする....

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 多項式について

    「x＾2－ｘｙ－2ｙ＾２＋ａｘ－ｙ＋１が1次式の積に因数分解されるようにaの値を求めよ」 という問題が数学の参考書に乗っていたのですが説明を読んでもいまいち分かりません。どうやら判別式を使うようなのですが・・・。やり方を教えてください。

  • 2変数で表された多項式の因数分解

    ある問題を計算して答えを出したところ、x^4-2x^3y-x^2y^2-2xy^3+y^4+4x^2y+4xy^2-3x^2-3y^2+1　(ただし、＾は累乗を表す)となり、答えを出すことができたのですが、問題集の解答には、(x^2-3xy+y^2+x+y-1)(x^2+xy+y^2-x-y-1)のように因数分解された解答が掲載されていました。 確認したところ、両者の値は一致しており、実際問題としては、どちらで答えを記述してもよいのだとは思いますが、はじめの式を因数分解して、あとの式のように変形することは一般的には可能なのでしょうか？ もしもわかられる方がいらっしゃれば、お教えいただければ幸いです。

  • 因数分解の問題（大学受験）

    現在、「複素数と方程式」の分野を勉強していますがわからない問題があります。これは、大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。 問題は x^2-xy-2y^2+ax-y+1が1次式の積に因数分解されるように、定数aの値を定めよ です。 私はこの問題を xについて整理し、x^2+(a-y)x-2y^2-y+1=0。 -2y^2-y+1を（y+1）（-2y+1）と因数分解し、(x+(y+1))(x+(-2y+1))=0 展開し、a=2 としました。 でも、解答は、他の解法で、a=2 だけでなくa=2,-5/2とありました。 本の解法は、xについて整理したあと、xについて解き、 「この２つの解をα、βとすると （与式）＝（x-α）（x-β） したがって、与式が一次式の積に因数分解できる条件は、 α、βがyの１次式であることである。 ゆえに、根号内の9y^2－2(a-2)y＋a^2－４が完全平方式であることが条件となる。 よって、yについての2次方程式9y^2－2(a-2)y＋a^2－４＝０ の判別式をDとすると、D=0 よって、a=2,-5/2」 とありました。 私は、わからない点が２つあり 一つ目はこの解法の「したがって～」からの三行で、どうして根号内が完全平方式でないといけないのでしょうか、たとえ根号内が完全平方式でなくルートが残っても、たとえば（x-√3y）（x-√5y）のように１次式の積に分解できると思います。 わからない点の二つ目は、最初の自分の方法ではどうしてa=-5/2という解が抜けてしまったのでしょうか。私の解法のどこに穴があったのでしょうか。条件でも見落としているところはないと思うのですが…。 私の勉強不足なのですが、質問する人がいないため困っています。 どなたかご存知の方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。

  • 2変数2次式の因数分解って

    http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch03/quadra/node6.html を参考にしています。 2次曲線ax^2+2hxy+by^2+2lx+2my+c=0において、 D＝ |a h l| |h b m| |l m c| とすると、 D=0なら、「1点」「平行でない2直線」「空集合か1直線か平行2直線」を表します。 つまり、D=0のとき、2次式 ax^2+2hxy+by^2+2lx+2my+c は因数分解できることになるのですが、その具体的な形を知りたいのです。 記述が大変であれば、どこかに具体的に書かれたサイトを教えていただけないでしょうか?

  • 因数分解

    関数f(x)は1次式に因数分解できるとします。 f(x)のk階微分をf^k(x)で表します。 f(x)が2次式の時、 　f(x) + f^1(x)y + f^2(x)y^2/2 を1次式に因数分解することはできますか？ 一般化して、f(x)がn次式の時、 　Σ[k=0,n]f^k(x)y^k/k! という形をした式を1次式に因数分解することはできますか？ 例： (x+1)(x+2)+(2x+3)y+y^2 = (x+y+1)(x+y+2) x(x+1)(x+2)+(3x^2+6x+2)y+(3x+3)y^2+y^3 = (x+y)(x+y+1)(x+y+2)

  • 次の条件をみたす２変数多項式

    次の条件をみたす２変数の多項式f(x,y)を教えて下さい。 条件は２つです。 【条件１】 (∂/∂x)f(x,y)＋(∂/∂y)f(x,y)＝０ 【条件２】 (∂^2/∂x∂y)f(x,y)＝０ 簡単な例としてはf(x,y)=x-yというのがありますが、 できれば２次式でお願いしたいです。

  • 因数分解

    次の式を因数分解せよ。 (1)ax２乗+by２乗-ay２乗-by２乗 (2)x３乗+x２乗y-x２乗-y (3)a(b２乗-c２乗)+b(c２乗-a２乗)+c(a２乗-b２乗)を因数分解せよ。 aについて降べきの順に整理する。 上の問題がわかりません！ 途中式も添えて回答お願いいたします。　

  • 中３　因数分解

    中３レベルの因数分解の問題です。 次の式の因数分解を与式を付けて教えていただけますでしょうか。 (1) (x-y)^2-(x-y) (2) a(x-y)-b(y-x) (3) (x-1)(x+2)+(x-1)(x-2) (4) 2(a-b)-ax+bx よろしくお願い致します。

  • 因数分解

    ものすごく初歩的な質問なのですが、問題とかで次の式を因数分解しなさいとかあったら何気なく因数分解していたのですが、因数分解して解が２つ出てきたら、その関数は判別式で言うとＤ＞０ということですよね？ もし因数分解して重解だったらＤ＝０ですよね？

  • 因数分解？？

    Ｘ＝√3-√2／√3+√2 Ｙ＝√3+√2／√3-√2 のとき次の式の値を求める問題です。 （1）Ｘ^2＋Ｙ^2 （2）Ｙ（Ｘ^2-Ｙ）＋Ｘ（Ｙ^2-Ｘ） 自分で考えたの（1）（2）の式を変形してから代入した方がいいのではないかとおもいます。 例えば（1）だと因数分解で習った式をつかい （Ｘ-Ｙ）^2＋2ＸＹの式にするとか （2）も展開してから因数分解して簡単な 式にしてから代入すると考えました。 √はついてくるは因数分解？？かややこしいです。 よろしくお願いします。

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する