2変数2次式の因数分解って

質問

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/taiwa/taiwaNch03/quadra/node6.html
を参考にしています。

2次曲線ax^2+2hxy+by^2+2lx+2my+c=0において、

D＝
|a h l|
|h b m|
|l m c|

とすると、

D=0なら、「1点」「平行でない2直線」「空集合か1直線か平行2直線」を表します。

つまり、D=0のとき、2次式
ax^2+2hxy+by^2+2lx+2my+c
は因数分解できることになるのですが、その具体的な形を知りたいのです。

記述が大変であれば、どこかに具体的に書かれたサイトを教えていただけないでしょうか?

回答No.2

nag0720

「空集合」は、
(px+qy+r)^2+s=0　（s＞0)
でした。たしかに、複素数を使えば因数分解できますね。失礼しました。

平行でない2直線の場合の因数分解だけ計算してみました。

２直線を、
(x+py+q)(x+ry+s)=0
とすると、

p+r=2h/a　　　(1)
pr=b/a　　　　(2)
q+s=2l/a　　　(3)
ps+qr=2m/a　　(4)
qs=c/a　　　　(5)

(1),(3)式より
r=2h/a-p
s=2l/a-q

これを(2),(4),(5)に代入すると、
p(2h-ap)=b　　　　(6)
q(2l-aq)=c　　　　(7)
p(2l-aq)+q(2h-ap)=2m　　(8)

(6),(7)の２次方程式を解くと、
p=(h±√(h^2-ab))/a
q=(l±√(l^2-ac))/a

これを(8)式に代入して整理整理すると、D=0が成立しています。

回答No.1

nag0720

D=0だとしても、必ずしも因数分解できるとは限りません。

「1点」は、
(x-p)^2+(y-q)^2=0
「平行でない2直線」は、
(px+qy+r)(sx+ty+u)=0　（pt≠sq）
「空集合」は、
(x-p)^2+(y-q)^2+r=0　（r＞0)
「1直線」は、
(px+qy+r)^2=0
「平行2直線」は、
(px+qy+r)(px+qy+s)=0　（r≠s）

補足

ax^2+2hxy+by^2+2lx+2my+c=0が、
「1点」「空集合」を表すとき、
左辺の2次式は複素数を使って因数分解できますよ。

a,h,b,l,m,cを使った因数分解の形を具体的に知りたいのです。