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多項式の積が同次にならない
定理の証明がわからなくなったので質問します。 定理 2つの多項式のうち、少なくとも1つが同次でないとき、その積は同次でない。 証明 多項式f,gのうち少なくとも1つ、たとえばfが同次でないとする。f=A+Bとし、Bはfのなかの最低次数の項の和のつくる同次多項式とし、Aはそれ以外の項の和とする。同じく g=A'+B'とし、B'はgなかの最低次数の項の和、A'はそれより高次の項の和とする。もしgが同次式のときはA'=0とする。 f・g=(A+B)(A'+B')=AA'+AB'+BA'+BB'ここでAA'+AB'+BA'の次数はBB'の次数より明らかに高い。よってf・gは同次式ではない。 (証明終了) ここでわからないのは、もしgが同次式のときはA'=0とする。の一文です。たとえばA'=x^2-2xy+5y^2で、B'=x+yのときB'=0でもgが同次式になると思います。なぜgが同次式のときはA'=0に限られるのか知りたいです。また2つ目の疑問として、f,gの2つとも同次式でないときは、どのようにその積は同次でないことを証明するのかも教えていただけると幸いです。どなたかお返事お願いします。
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- 上野 尚人(@uenotakato)
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お礼
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